[论文解读] Fast data-driven model reduction for nonlinear dynamical systems

Joar Axås, Mattia Cenedese+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 1

一句话总结

本文提出了 fastSSM 和 fastSSM+，两种显式、数据驱动的算法，用于将非线性动力系统的模型降维至谱子流形（SSMs）。通过假设 SSM 切空间可通过数据的 SVD 近似，并在降维流形上解析计算正规形，该方法在保持高精度的同时，相较于 SSMLearn 中的隐式优化方法，实现了数量级的加速，适用于包括梁振动和晃动水箱在内的非线性、不可线性化动力学的数值和实验数据。

ABSTRACT

We present a fast method for nonlinear data-driven model reduction of dynamical systems onto their slowest nonresonant spectral submanifolds (SSMs). We use observed data to locate a low-dimensional, attracting slow SSM and compute a maximally sparse approximation to the reduced dynamics on it. The recently released SSMLearn algorithm uses implicit optimization to fit a spectral submanifold to data and reduce the dynamics to the normal form. Here, we present two simplified algorithms, which reformulate manifold fitting and normal form computation as explicit problems under certain assumptions. We show on both numerical and experimental datasets that these algorithms yield accurate and sparse rigorous models for essentially nonlinear (or non-linearizable) dynamics. The new algorithms are significantly simplified and provide a speedup of several orders of magnitude.

研究动机与目标

• 开发一种比基于隐式优化的 SSMLearn 算法更快、更易访问的替代方法，用于数据驱动的模型降维。
• 通过简化 SSM 拟合与正规形计算，实现在高维可观测空间中的高效模型降维。
• 在 SSM 上提供显式、可解析计算的正规形，适用于实时分析与控制设计。
• 证明显式计算可生成足够准确的模型以满足实际应用需求，同时大幅降低计算成本。

提出的方法

• 假设 SSM 的切空间可通过数据的奇异值分解（SVD）近似，从而实现显式 SSM 拟合。
• 采用多项式拟合方法，基于数据在可观测空间中估计 SSM 作为流形。
• 应用显式、递归算法，在 SSM 上计算任意所需阶数的正规形。
• 采用稀疏回归方法，仅保留正规形中的关键非线性项，提升可解释性。
• fastSSM 专注于具有复共轭特征值的二维 SSM 的立方正规形，适用于单模态振荡。
• fastSSM+ 将该方法推广至任意阶数与维度，同时在立方二维情况下与 fastSSM 保持等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 SSM 拟合与正规形计算重新表述为显式问题，以避免昂贵的隐式优化？
• RQ2 与隐式优化相比，显式 SSM 与正规形计算在精度与速度方面的表现如何？
• RQ3 新算法能否在如内共振与非线性阻尼等不可线性化动力学中保持模型保真度？
• RQ4 基于 SVD 的切空间估计假设对模型精度与收敛域有何影响？
• RQ5 显式正规形计算能否生成足够有效的模型以用于实际预测与控制？

主要发现

• fastSSM 与 fastSSM+ 算法相较于原始的 SSMLearn 算法实现了数个数量级的速度提升。
• 在固定-固定梁实验中，该方法在测试集上实现了 1.28% 的归一化均轨迹误差（NMTE）。
• 该模型自动检测到梁数据中的内共振，正确捕捉了模态间能量转移。
• 在水箱晃动实验中，模型准确预测了衰减动力学以及受迫响应的幅值与相位。
• fastSSM+ 计算的解析正规形的有效域显著小于 SSMLearn 通过数值拟合得到的正规形，表明在实践中数据驱动拟合可优于解析方法。
• 尽管如此，显式方法仍生成了既可解释又足够精确的模型，适用于可靠预测与分析。