[论文解读] Fast Fourier-like Mapped Chebyshev Spectral-Galerkin Methods for PDEs with Integral Fractional Laplacian in Unbounded Domains

Changtao Sheng, Jie Shen+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 51被引用 5

一句话总结

本文提出了一种快速谱-伽辽金方法，用于在无界域中求解具有积分分数阶拉普拉斯算子的偏微分方程，采用邓福德-泰勒公式和类似傅里叶的双正交映射切比雪夫函数（MCFs）。该方法实现了准最优复杂度 $ O((N\log_2 N)^d) $，并完全对角化了分数阶拉普拉斯算子，从而实现高阶精度，并高效求解非线性分数阶偏微分方程，如分数阶非线性薛定谔方程。

ABSTRACT

In this paper, we propose a fast spectral-Galerkin method for solving PDEs involving integral fractional Laplacian in $\mathbb{R}^d$, which is built upon two essential components: (i) the Dunford-Taylor formulation of the fractional Laplacian; and (ii) Fourier-like bi-orthogonal mapped Chebyshev functions (MCFs) as basis functions. As a result, the fractional Laplacian can be fully diagonalised, and the complexity of solving an elliptic fractional PDE is quasi-optimal, i.e., $O((N\log_2N)^d)$ with $N$ being the number of modes in each spatial direction. Ample numerical tests for various decaying exact solutions show that the convergence of the fast solver perfectly matches the order of theoretical error estimates. With a suitable time-discretization, the fast solver can be directly applied to a large class of nonlinear fractional PDEs. As an example, we solve the fractional nonlinear Schr{ö}dinger equation by using the fourth-order time-splitting method together with the proposed MCF-spectral-Galerkin method.

研究动机与目标

• 开发一种高效且精确的数值方法，用于求解无界域中涉及积分分数阶拉普拉斯算子的偏微分方程。
• 克服分数阶拉普拉斯算子在多维空间中非局部性和奇异性带来的计算挑战。
• 在保持谱精度的同时实现准最优复杂度，适用于具有衰减解的问题。
• 通过完全对角化的线性系统，实现非线性分数阶PDE的高效时间积分。

提出的方法

• 该方法采用分数阶拉普拉斯算子的邓福德-泰勒积分表示，将其表达为包含预解算子的围线积分。
• 使用映射切比雪夫函数（MCFs）作为基函数，这些函数具有双正交性，且专为处理无界域中解的衰减特性而设计。
• MCFs的双正交性使得在谱-伽辽金框架下，分数阶拉普拉斯算子的弱形式可被完全对角化。
• 由此产生的线性系统具有对角结构，使得求解复杂度为 $ O((N\log_2 N)^d) $，其中 $ N $ 为每维的模态数。
• 通过四阶时间分裂格式将该方法扩展至时间依赖问题，保持高阶精度。
• 通过具有已知衰减精确解的问题的大量数值实验验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R}^d $ 中，能否使用谱方法在无界域中高效且精确地逼近积分分数阶拉普拉斯算子？
• RQ2 分数阶拉普拉斯算子的非局部性和奇异性是否能在谱-伽辽金框架中被完全对角化？
• RQ3 对于具有衰减解的分数阶PDE，快速谱方法可达到的收敛速率和计算复杂度是多少？
• RQ4 所提出的方法能否扩展至具有高阶时间精度的非线性分数阶PDE？

主要发现

• 所提出的方法实现了 $ O((N\log_2 N)^d) $ 的准最优复杂度，与标准谱方法相比显著降低了计算成本。
• 数值实验表明，收敛速率与理论误差估计一致，证明了对衰减解具有谱精度。
• 分数阶拉普拉斯算子在MCF基下被完全对角化，从而在每一步时间推进中实现了线性系统的高效求解。
• 该方法成功应用于分数阶非线性薛定谔方程，结合四阶时间分裂格式，保持了高阶精度。
• 理论分析与数值结果共同证实了该方法在多维空间问题中的鲁棒性与高效性。