[论文解读] Fast linear response algorithm for differentiating stationary measures of chaos

Angxiu Ni|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文提出了一种快速线性响应算法，通过基于函数而非分布的新型展开方式计算不稳定发散，实现了一种数值高效的混沌系统SRB测度微分方法。该算法利用修正的影子方向中的归一化二阶切线方程，避免了斜投影，对一致双曲系统实现了可证明的收敛性，从而在分形吸引子中实现了精确的参数敏感性计算。

ABSTRACT

We devise a new algorithm, called the fast linear response algorithm, for accurately differentiating SRB measures with respect to some parameters of the dynamical system, where SRB measures are fractal limiting stationary measures of chaotic systems. The core of our algorithm is the first numerical treatment of the unstable divergence, a central object in the linear response theory for fractal attractors. We derive the first computable expansion formula of the unstable divergence, where all terms are functions rather than distributions. Then we give a `fast' characterization of the expansion by renormalized second-order tangent equations, whose second derivative is taken in a modified shadowing direction, computed by the non-intrusive shadowing algorithm. The new characterization makes the algorithm efficient and robust: its main cost is solving $u$, the unstable dimension, many first-order and second-order tangent equations, and it does not compute oblique projections. Moreover, the algorithm works for chaos on Riemannian manifolds with any $u$; its convergence to the true derivative is proved for uniform hyperbolic systems. The algorithm is illustrated on an example which is difficult for previous methods.

研究动机与目标

• 解决混沌系统SRB测度（分形平稳测度）对系统参数微分的挑战。
• 为具有分形吸引子的系统提供一种计算高效且数值稳定的线性响应计算方法。
• 克服先前依赖分布或斜投影的方法的局限性，这些方法会阻碍精度和可扩展性。
• 为不稳定维数u任意的均匀双曲系统建立可证明收敛的算法。
• 实现传统线性响应理论因分形几何而失效的混沌系统中参数敏感性的计算。

提出的方法

• 该算法引入了一种仅基于函数而非分布的不稳定发散的新可计算展开，使数值处理成为可能。
• 采用归一化二阶切线方程来表征该展开，其中二阶导数在修正的影子方向上计算。
• 使用非侵入式影子算法计算修正的影子方向，确保鲁棒性，且无需对系统进行侵入式修改。
• 通过将导数计算重新表述为标准切线方程，避免了斜投影，降低了数值复杂度。
• 该算法的主要计算成本为求解u份一阶和二阶切线方程，其中u为不稳定维数。
• 该公式在黎曼流形上成立，并被证明对一致双曲系统收敛到真实导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以稳定且高效的方式数值计算分形吸引子线性响应理论中的关键对象——不稳定发散？
• RQ2 能否推导出一种基于函数的不稳定发散展开，避免使用分布对象并实现实际计算？
• RQ3 能否仅使用标准切线方程和影子方向来表征SRB测度的导数，而无需斜投影？
• RQ4 此类算法在一致双曲系统中的计算成本和收敛行为如何？
• RQ5 该方法能否应用于黎曼流形上任意不稳定维数u的混沌系统？

主要发现

• 本文首次推导出以函数而非分布表示的不稳定发散的可计算展开，使数值实现成为可能。
• 该算法对一致双曲系统实现了对真实导数的可证明收敛，确保了理论可靠性。
• 该方法高效且鲁棒，计算成本与不稳定维数u呈线性关系，主要通过求解一阶和二阶切线方程实现。
• 通过避免斜投影并使用非侵入式影子方向，该算法提高了数值稳定性和实用性。
• 该算法成功计算了一个先前方法失效的复杂混沌系统中的参数敏感性，展示了其实际优势。
• 该公式具有普遍性，适用于任意不稳定维数u的黎曼流形上的混沌系统。