[论文解读] Faster Algorithms for Quantitative Verification in Constant Treewidth Graphs

Krishnendu Chatterjee, Rasmus Ibsen-Jensen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对常数树宽图的定量验证的更快算法，重点研究均支付、比率和初始信用最小值等性质。通过利用常数树宽图的结构特性，作者在时间与空间复杂度上实现了改进——例如，均支付近似的时间复杂度为 O(n · log(n/ϵ))，初始信用最小值的时间复杂度为 O(n · log n)，在理论和实际标准基准测试中均超越了经典方法和先前的最先进方法。

ABSTRACT

We consider the core algorithmic problems related to verification of systems with respect to three classical quantitative properties, namely, the mean-payoff property, the ratio property, and the minimum initial credit for energy property. The algorithmic problem given a graph and a quantitative property asks to compute the optimal value (the infimum value over all traces) from every node of the graph. We consider graphs with constant treewidth, and it is well-known that the control-flow graphs of most programs have constant treewidth. Let $n$ denote the number of nodes of a graph, $m$ the number of edges (for constant treewidth graphs $m=O(n)$) and $W$ the largest absolute value of the weights. Our main theoretical results are as follows. First, for constant treewidth graphs we present an algorithm that approximates the mean-payoff value within a multiplicative factor of $\epsilon$ in time $O(n \cdot \log (n/\epsilon))$ and linear space, as compared to the classical algorithms that require quadratic time. Second, for the ratio property we present an algorithm that for constant treewidth graphs works in time $O(n \cdot \log (|a\cdot b|))=O(n\cdot\log (n\cdot W))$, when the output is $\frac{a}{b}$, as compared to the previously best known algorithm with running time $O(n^2 \cdot \log (n\cdot W))$. Third, for the minimum initial credit problem we show that (i)~for general graphs the problem can be solved in $O(n^2\cdot m)$ time and the associated decision problem can be solved in $O(n\cdot m)$ time, improving the previous known $O(n^3\cdot m\cdot \log (n\cdot W))$ and $O(n^2 \cdot m)$ bounds, respectively; and (ii)~for constant treewidth graphs we present an algorithm that requires $O(n\cdot \log n)$ time, improving the previous known $O(n^4 \cdot \log (n \cdot W))$ bound. We have implemented some of our algorithms and show that they present a significant speedup on standard benchmarks.

研究动机与目标

• 解决反应系统定量验证中的性能瓶颈，特别是针对建模大多数程序控制流的常数树宽图。
• 改进三种关键定量性质的核心算法的时间与空间复杂度：均支付、比率和能量的初始信用最小值。
• 设计实用且高效的算法，在标准基准测试中的真实控制流图上优于现有方法。
• 展示在算法设计中利用树宽结构在理论与实证上的优势。

提出的方法

• 利用常数树宽图的树分解，以在树状结构上支持动态规划与分治策略。
• 设计一种新颖的 ϵ-近似算法用于均支付，通过在候选值上进行二分查找，并在变换图中计算最短路径。
• 应用参数搜索与在有理数比值上的二分查找，以 O(n · log(|a·b|)) 时间计算最优比率性质。
• 将最小初始信用问题重新表述为参数最短路径问题，并利用树分解减小问题规模，从而实现高效计算。
• 使用优化的数据结构与缓存技术，降低实际实现中的常数因子。
• 在 DaCapo 和 DIMACS 基准测试的真实控制流图上实现并评估算法，以验证理论改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在常数树宽图中实现均支付值计算的亚二次时间复杂度？
• RQ2 在常数树宽图中，比率性质的计算能否快于 O(n² · log(n·W))？
• RQ3 对于一般图，最小初始信用问题能否在亚立方时间内求解？对于常数树宽图，能否在线性对数时间内求解？
• RQ4 理论上的改进在真实世界程序控制流图上的实际性能提升如何体现？

主要发现

• 对于均支付性质，所提算法以 O(n · log(n/ϵ)) 时间与 O(n) 空间计算 ϵ-近似值，优于经典的 O(n²) 时间复杂度。
• 对于比率性质，算法运行时间为 O(n · log(|a·b|)) = O(n · log(n·W))，显著优于先前的 O(n² · log(n·W)) 上限。
• 对于一般图的最小初始信用问题，算法运行时间为 O(n²·m)，优于先前的 O(n³·m·log(n·W)) 上限。
• 在常数树宽图上，最小初始信用问题以 O(n · log n) 时间求解，远优于先前的 O(n⁴·log(n·W)) 上限。
• 在 DaCapo 基准测试上的实证评估显示，所提算法比现有方法快几个数量级，且内存使用显著减少。
• 实现结果表明具有强大的实际可扩展性，性能提升随图规模增大而增强，尤其在中等规模图（500–1300 个节点）上表现突出。