[论文解读] Faster Algorithms for Rooted Connectivity in Directed Graphs

Chandra Chekuri, Kent Quanrud|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出了计算有向图中根节点和全局边连通性与点连通性的更快随机化算法。通过结合边采样与图稀疏化技术，该方法在小整数容量下实现了根节点边连通性的 ˜O(n²) 时间复杂度——打破了稠密图中长期存在的 Ω(n³) 时间下限——同时为点连通性提供了高效的 (1+ϵ)-近似和精确算法，且在图的权重和连通性参数上的依赖关系得到改进。

ABSTRACT

We consider the fundamental problems of determining the rooted and global edge and vertex connectivities (and computing the corresponding cuts) in directed graphs. For rooted (and hence also global) edge connectivity with small integer capacities we give a new randomized Monte Carlo algorithm that runs in time Õ(n²). For rooted edge connectivity this is the first algorithm to improve on the Ω(n³) time bound in the dense-graph high-connectivity regime. Our result relies on a simple combination of sampling coupled with sparsification that appears new, and could lead to further tradeoffs for directed graph connectivity problems. We extend the edge connectivity ideas to rooted and global vertex connectivity in directed graphs. We obtain a (1+ε)-approximation for rooted vertex connectivity in Õ(nW/ε) time where W is the total vertex weight (assuming integral vertex weights); in particular this yields an Õ(n²/ε) time randomized algorithm for unweighted graphs. This translates to a Õ(KnW) time exact algorithm where K is the rooted connectivity. We build on this to obtain similar bounds for global vertex connectivity. Our results complement the known results for these problems in the low connectivity regime due to work of Gabow [Harold N. Gabow, 1995] for edge connectivity from 1991, and the very recent work of Nanongkai et al. [Nanongkai et al., 2019] and Forster et al. [Sebastian Forster et al., 2020] for vertex connectivity.

研究动机与目标

• 开发用于计算有向图中最小边割与点割的更快算法，尤其针对稠密图情形。
• 通过新颖的算法技术，突破稠密图中具有小整数容量时根节点边连通性的 Ω(n³) 时间下限。
• 将这些改进推广至点连通性，提供高效的 (1+ϵ)-近似与精确算法，且在点权重与连通性值上的依赖关系得到优化。
• 提出一种采样与稀疏化的新组合方式，该方法可能广泛适用于其他有向图连通性问题。

提出的方法

• 提出一种新的随机化蒙特卡洛算法用于根节点边连通性，结合边采样与图稀疏化，实现小整数容量下 ˜O(n²) 的时间复杂度。
• 利用稀疏化技术在保持连通性特性的同时减少边数，尤其关注高入度顶点。
• 应用根节点稀疏化引理处理点连通性，将高入度顶点的入边替换为从根节点出发的一条边，从而实现高效计算。
• 采用两阶段方法处理点连通性：分别使用不同子程序处理最小割中的大分量与小分量。
• 通过重复采样实现成功概率放大，获得高概率保证，并对所需重复次数进行细致分析。
• 通过按顶点权重比例采样根节点，并利用图及其反向图的对称性，将全局连通性问题约化为根节点连通性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过新颖的算法技术打破稠密有向图中根节点边连通性的 Ω(n³) 时间下限？
• RQ2 采样与稀疏化相结合是否能为有向图连通性问题（超越边连通性）带来更快的算法？
• RQ3 在具有加权顶点的有向图中，点连通性的近似质量与运行时间之间最优权衡为何？
• RQ4 如何通过高概率将全局点连通性问题约化为根节点连通性问题，从而实现高效计算？
• RQ5 在精确与近似算法中，能否显著改善对顶点权重与连通性值的依赖关系？

主要发现

• 本文提出一种 ˜O(n²) 的随机化算法，用于具有小整数容量的有向图中的根节点边连通性，这是首个在稠密图高连通性情形下打破 Ω(n³) 时间下限的算法。
• 对于具有整数顶点权重的根节点点连通性，本文实现了 (1+ϵ)-近似算法，时间复杂度为 ˜O(nW/ϵ)，其中 W 为总顶点权重；精确算法的时间复杂度为 ˜O(κnW)，其中 κ 为根节点连通性值。
• 在无权情形下，根节点点连通性的 (1+ϵ)-近似算法运行时间为 ˜O(n²/ϵ)，精确算法为 ˜O(κn²)。
• 全局点连通性问题的 (1+ϵ)-近似解在 ˜O(nW/ϵ) 时间内完成，精确解在 ˜O(κnW) 时间内完成，无权图情形下复杂度相同。
• 关键技术创新——采样与稀疏化的结合——不仅在边连通性中有效，也适用于点连通性，从而在多种场景下实现了更优的时间复杂度。