[论文解读] Faster Approximation Algorithms for Geometric Set Cover

Timothy M. Chan, Qizheng He|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对三维半空间和二维圆盘中几何集合覆盖问题的更快近似算法，采用改进的乘性权重更新（MWU）方法与几何数据结构。通过简化数据结构需求，并结合随机采样与浅切分，作者实现了确定性 O(n log³n log log n) 时间复杂度的算法和随机化 O(n log n (log log n)^O(1)) 时间复杂度的算法，两者均提供 O(1)-近似解，显著优于先前的 O(n log⁴n) 上界。

ABSTRACT

In the Set Multicover problem, we are given a set system (X,𝒮), where X is a finite ground set, and 𝒮 is a collection of subsets of X. Each element x ∈ X has a non-negative demand d(x). The goal is to pick a smallest cardinality sub-collection 𝒮' of 𝒮 such that each point is covered by at least d(x) sets from 𝒮'. In this paper, we study the set multicover problem for set systems defined by points and non-piercing regions in the plane, which includes disks, pseudodisks, k-admissible regions, squares, unit height rectangles, homothets of convex sets, upward paths on a tree, etc. We give a polynomial time (2+ε)-approximation algorithm for the set multicover problem (P, ℛ), where P is a set of points with demands, and ℛ is a set of non-piercing regions, as well as for the set multicover problem (𝒟, P), where 𝒟 is a set of pseudodisks with demands, and P is a set of points in the plane, which is the hitting set problem with demands.

研究动机与目标

• 设计针对三维半空间和二维圆盘中几何集合覆盖问题的更快 O(1)-近似算法。
• 通过简化数据结构需求，改进基于 MWU 的现有算法的运行时间。
• 在保持近线性时间性能的同时，消除算法中的随机性。
• 通过在原始空间与对偶空间中结合随机采样与浅切分，实现更快的随机化算法。
• 将该方法扩展至加权几何集合覆盖问题，并改进其期望时间复杂度。

提出的方法

• 重新审视 Agarwal 和 Pan 的首个 MWU 算法，并通过消除对动态加权范围计数的需求，简化其数据结构要求。
• 用仅支持插入的结构替代动态权重更新，此类结构可通过标准技术简化为静态数据结构。
• 在原始空间与对偶空间中创新性地应用浅切分，以高效维护和查询深度信息。
• 应用随机采样，在网构造前减小输入集的规模，从而实现更快的 ε-网计算。
• 使用哈希与指纹技术维护动态对象移除下的点等价类，从而实现高效最小计数对象的选择。
• 通过在输入中引入随机采样，对准均匀采样技术进行修改，将网构造时间从 O(n log n + nk₀) 降低至 O(n log n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 Agarwal 和 Pan 的首个 MWU 算法中的数据结构复杂度能否被降低，以实现近线性时间的确定性算法？
• RQ2 对于三维半空间集合覆盖问题，能否将基于随机化 MWU 算法的运行时间进一步优化至 O(n log⁴n) 以下？
• RQ3 如何结合浅切分与随机采样，以加速加权几何集合覆盖中的 ε-网构造？
• RQ4 能否对准均匀采样技术进行适配，以在保持 O(1)-近似保证的同时减少运行时间？
• RQ5 是否可能在不引入显著时间开销的前提下，对加权集合覆盖算法进行去随机化？

主要发现

• 通过简化 MWU 方法中的数据结构需求，成功实现针对三维半空间集合覆盖的确定性 O(n log³n log log n) 时间复杂度 O(1)-近似算法。
• 通过在原始空间与对偶空间中结合随机采样与浅切分，开发出更快的随机化 O(n log n (log log n)^O(1)) 时间复杂度 O(1)-近似算法。
• 通过采样部分半空间并在较小实例上计算网，将 ε-网构造时间降低至 O(n log n)。
• 该方法可通过标准几何变换推广至二维圆盘与三维支配范围问题。
• 对于加权情形，通过改进的 MWU 与准均匀采样，获得随机化 O(n log⁴n log log n) 时间复杂度 O(1)-近似算法。
• 本文指出，加权情形的去随机化仍为开放问题，尽管可采用条件概率方法，但代价较高。