[论文解读] Fatou-Bieberbach Domains

Erlend Fornæss Wold|ArXiv.org|Oct 7, 2004

Rings, Modules, and Algebras被引用 3

一句话总结

本文在 $\mathbb{C}^k$ 中构造了具有高度非平凡几何与动力性质的 Fatou-Bieberbach 域：证明了存在无穷多个互不相交的此类域，其并集在 $\mathbb{C}^k$ 中稠密，且并集外的每一点都是所有域的边界点。此外，本文进一步表明，任意 Runge Fatou-Bieberbach 域均可作为 $\mathbb{C}^k$ 上一列自同构的吸引域，且任意按包含关系递增的、与 $\mathbb{C}^k$ 双全纯等价的 Runge 域的并集本身也与 $\mathbb{C}^k$ 双全纯等价。这些结果解决了关于子簇与仿射子空间交集的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We show that for any $m\in\NN\cup\{\infty\}$ there exist $m$ disjoint FB domains whose union is dense in $\CC^k$. In fact we show that any point not in the union is a boundary point for all the domains. We construct FB domains that contains arbitrary countable collections of subvarieties of $\CC^k$, and we construct FB domains that intersect elements of countable collections of affine subspaces of $\CC^k$ in connected proper subsets. Moreover, we show that any Runge FB domain is the attracting basin for a sequence of automorphisms of $\CC^k$, although not necessarily if you only allow iteration of one automorphism. We also show that an increasing sequence of Runge $\CC^k$'s is a $\CC^k$.

研究动机与目标

• 为解决关于存在多个互不相交的 Fatou-Bieberbach 域且其并集在 $\mathbb{C}^k$ 中稠密的开放问题。
• 证明在该并集之外的任意点均为所有域的边界点，回应了 Rosay 与 Rudin 提出的问题。
• 构造包含任意可数个子簇族或与可数个仿射子空间相交于连通真子集的 Fatou-Bieberbach 域。
• 澄清 Runge Fatou-Bieberbach 域的动力特征，即其为自同构序列的吸引域。
• 证明按包含关系递增的、与 $\mathbb{C}^k$ 双全纯等价的 Runge 域的并集本身也与 $\mathbb{C}^k$ 双全纯等价。

提出的方法

• 将文献 [10] 中定理 9.1 的结果推广，通过控制导数范数的自同构序列构造 Fatou-Bieberbach 域。
• 利用 Andersen、Lempert、Forstnič 与 Rosay 的逼近定理，将双全纯同构逼近为 $\mathbb{C}^k$ 上的自同构。
• 应用多项式凸性技术以控制域及其补集的行为。
• 通过递归构造自同构 $F_j$，使得复合映射 $F(j) = F_j \circ \cdots \circ F_1$ 收缩至不动点，从而保证收敛于 $\mathbb{C}^k$ 上的双全纯同构。
• 利用紧集上的一致收敛性，确保极限映射是从吸引域到 $\mathbb{C}^k$ 的双全纯同构，利用导数二阶项的有界性。
• 在递增的域 $\Omega_j$ 上构造双全纯同构 $\varphi_j$，使其在紧集上一致收敛于全局双全纯同构 $\Phi: \Omega \to \mathbb{C}^k$，并利用复分析中的逼近与收敛定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^k$ 中是否可能存在无穷多个互不相交的 Fatou-Bieberbach 域，其并集稠密？
• RQ2 是否可能使并集外的每一点同时为所有域的边界点？
• RQ3 Fatou-Bieberbach 域是否可与可数个仿射子空间相交于连通的真子集？
• RQ4 Fatou-Bieberbach 域是否可包含任意可数个闭子簇的并集，即使该并集在 $\mathbb{C}^k$ 中稠密？
• RQ5 每个 Runge Fatou-Bieberbach 域是否都是 $\mathbb{C}^k$ 上一列自同构的吸引域，即使不为单个自同构的吸引域？

主要发现

• 对任意 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$，存在 $m$ 个互不相交的 Fatou-Bieberbach 域，其并集在 $\mathbb{C}^k$ 中稠密，且并集外的每一点均为每个域的边界点。
• 任意 Runge Fatou-Bieberbach 域均为 $\mathbb{C}^k$ 上一列自同构的吸引域，尽管不一定是单个自同构的吸引域。
• 存在一个 Fatou-Bieberbach 域，其与可数个仿射子空间中的每一个相交于连通的真子集，且避开每个子空间的补集。
• 存在一个 Fatou-Bieberbach 域包含 $\mathbb{C}^k$ 中任意给定的可数个闭子簇的并集，即使该并集在 $\mathbb{C}^k$ 中稠密。
• 按包含关系递增的、与 $\mathbb{C}^k$ 双全纯等价的 Runge 域的并集本身也与 $\mathbb{C}^k$ 双全纯等价，为 [7, p.4] 中的问题提供了部分解答。