[论文解读] Favourable modules: Filtrations, polytopes, Newton-Okounkov bodies and flat degenerations

Evgeny Feigin, Ghislain Fourier+1 more|Kölner Universitäts PublikationsServer (Universität zu Köln)|Jun 6, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 25被引用 10

一句话总结

本文引入了单连通代数群的'有利模'，其中模结构由一个正规格多面体控制。通过PBW滤子和单项序滤子，建立了旗簇到toric簇和阿贝尔化簇的平坦退化，并证明了其投影正规性和算术Cohen-Macaulay性，且该多面体被实现为Newton-Okounkov体。

ABSTRACT

We introduce the notion of a favourable module for a complex unipotent algebraic group, whose properties are governed by the combinatorics of an associated polytope. We describe two filtrations of the module, one given by the total degree on the PBW basis of the corresponding Lie algebra, the other by fixing a homogeneous monomial order on the PBW basis. In the favourable case a basis of the module is parameterized by the lattice points of a normal polytope. The filtrations induce flat degenerations of the corresponding flag variety to its abelianized version and to a toric variety, the special fibres of the degenerations being projectively normal and arithmetically Cohen-Macaulay. The polytope itself can be recovered as a Newton-Okounkov body. We conclude the paper by giving classes of examples for favourable modules.

研究动机与目标

• 通过多面体组合学定义并刻画单连通代数群的有利模。
• 研究此类模上的两种滤子：一种是总次数滤子（PBW滤子），另一种是齐次单项序滤子。
• 建立旗簇到toric簇和阿贝尔化簇的平坦退化，同时保持关键代数性质。
• 证明与之关联的多面体作为旗簇及其退化形式的Newton-Okounkov体。
• 提供显式例子类，包括Demazure模和$SL_n$的具有基本权的表示。

提出的方法

• 将有利模定义为${\rm U}({\frak N})$-模，其本质多指标集构成一个正规格多面体$P(M)$的格点。
• 构造两种滤子：一种是按总次数的PBW滤子，另一种是按单项序的滤子，二者均诱导出分次模，其分量维数为1。
• 利用相应的分次模$\mathrm{gr}^a M$和$\mathrm{gr}^t M$，通过交换单连通群$\mathbb{U}^a$的作用，定义阿贝尔化和toric旗簇。
• 证明从原始旗簇$\mathcal{F}_{\mathbb{U}}(M)$到$\mathcal{F}_{\mathbb{U}^a}(\mathrm{gr}^a M)$，以及进一步到$\mathcal{F}_{\mathbb{U}^a}(\mathrm{gr}^t M)$的平坦退化。
• 在群作用满足弱条件时，将多面体$P(M)$识别为所有三种簇的Newton-Okounkov体。
• 显式计算$SL_n$和正则极大权情形下，toric簇的正规扇、射线及自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时单连通代数群的循环模可通过单项序滤子实现到toric簇的平坦退化？
• RQ2 在何种条件下，PBW滤子下的分次模是投影正规且算术Cohen-Macaulay的？
• RQ3 如何将控制模基的多面体实现为旗簇的Newton-Okounkov体？
• RQ4 哪些$SL_n$表示在给定正根排序下产生有利模？
• RQ5 由有利模生成的toric簇的自同构群结构如何？

主要发现

• 对于有利模$M$，集合$\{ \mathbf{f}^\mathbf{p} v_M^\otimes n \mid \mathbf{p} \in nS(M) \}$构成$M^{\odot n}$、$\mathrm{gr}^a M^{\odot n}$和$\mathrm{gr}^t M^{\odot n}$的基，其中$S(M)$是$P(M)$中格点的集合。
• 旗簇$\mathcal{F}_{\mathbb{U}^a}(\mathrm{gr}^t M)$是多面体$P(M)$定义的toric簇，其torus作用由单项序决定。
• 存在从$\mathcal{F}_{\mathbb{U}}(M)$到$\mathcal{F}_{\mathbb{U}^a}(\mathrm{gr}^a M)$，以及进一步到$\mathcal{F}_{\mathbb{U}^a}(\mathrm{gr}^t M)$的平坦退化，且这三个簇均为投影正规且算术Cohen-Macaulay。
• 在群作用满足弱条件时，多面体$P(M)$是$\mathcal{F}_{\mathbb{U}}(M)$、$\mathcal{F}_{\mathbb{U}^a}(\mathrm{gr}^a M)$和$\mathcal{F}_{\mathbb{U}^a}(\mathrm{gr}^t M)$的Newton-Okounkov体。
• 当$G = SL_n$且基本权$\omega$满足$\langle \omega, \theta^\vee \rangle = 1$时，存在正根的排序和单项序，使得对所有$m \geq 1$，$V(m\omega)$为有利模。
• 与$SL_n$及正则极大权相关的toric簇的自同构群是半直积：一个李群（同构于$SL_2$或$PSL_2$），一个$N$维环面，以及一个维数为$\frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n - 1$的幂零根。