[论文解读] Fermionic Hamiltonians for quantum simulations: a general reduction scheme

Panagiotis Kl. Barkoutsos, Nikolaj Moll+6 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Quantum and electron transport phenomena被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种数值优化方案——低秩优化（LRO），在最小化耦合常数展宽的前提下，将k-局部费米子哈密顿量约化为2-局部自旋哈密顿量。与需要指数级变化耦合常数的微扰装置方法不同，LRO将耦合常数展宽降低了10^8倍（从~10^8降至<40），使得在当前模拟量子硬件上以高保真度实现原始能谱和密度矩阵成为可能。

ABSTRACT

Many-body fermionic quantum calculations performed on analog quantum computers are restricted by the presence of k-local terms, which represent interactions among more than two qubits. These originate from the fermion-to-qubit mapping applied to the electronic Hamiltonians. Current solutions to this problem rely on perturbation theory in an enlarged Hilbert space. The main challenge associated with this technique is that it relies on coupling constants with very different magnitudes. This prevents its implementation in currently available architectures. In order to resolve this issue, we present an optimization scheme that unfolds the k-local terms into a linear combination of 2-local terms, while ensuring the conservation of all relevant physical properties of the original Hamiltonian, with several orders of magnitude smaller variation of the coupling constants.

研究动机与目标

• 为解决当前模拟量子模拟器中实现k-局部项的挑战，这些项需要跨越多个数量级的耦合常数。
• 克服微扰哈密顿量装置（PHGs）的局限性，后者因耦合强度展宽呈指数级增长而难以在真实设备上实现。
• 开发一种数值优化方案，在约化过程中保持原始哈密顿量的物理能谱和密度矩阵。
• 通过确保耦合强度保持在狭窄且实验可实现的范围内，实现电子结构问题的可行量子模拟。

提出的方法

• 该方法通过逐次引入辅助量子比特扩展希尔伯特空间，将k-局部项逐步约化为(k-1)-局部项。
• 低秩优化（LRO）过程选择最相关的(k-1)-局部项，并优化其系数，以最小化代价函数，同时保持物理特性。
• 采用约束数值方法进行优化，以最小化约化密度矩阵与目标物理态之间的差异。
• 该方案确保变换后哈密顿量的本征谱和约化密度矩阵与原始k-局部哈密顿量高度一致。
• 该方法分步实施，从3-局部项开始，在扩展的希尔伯特空间H_p ⊗ H_a中逐步约化为2-局部项。
• LRO方法通过聚焦于一组主导项，避免了耦合常数展宽的指数级增长，而PHGs则依赖于耦合常数差异巨大的微扰展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 k-局部费米子哈密顿量能否在不需跨越多个数量级耦合常数的前提下约化为2-局部形式？
• RQ2 在将k-局部项约化为2-局部项的过程中，如何保持原始哈密顿量的物理能谱和密度矩阵？
• RQ3 为在约化密度矩阵中维持目标精度，耦合系数的数值精度需达到何种程度？
• RQ4 数值优化方案能否在耦合常数展宽和物理保真度方面优于微扰装置方法？
• RQ5 优化解对耦合参数的小幅变化是否稳定？实验实现需要多高的精度？

主要发现

• LRO方法将耦合常数展宽从PHG中的约10^8显著降低至40以下，极大提升了当前量子硬件的可行性。
• LRO-9方法在约化密度矩阵上的最大误差低于10^-6（与参考3-局部哈密顿量相比）。
• 当优化后的耦合参数d_i发生1%的偏差时，密度矩阵误差约为10%，表明系统具有高度敏感性。
• 为实现密度矩阵10^-6的精度，耦合强度d_i的精度需达到10^-4%，该精度在数值上可行但实验上具有挑战性。
• LRO方案在整个约化过程中完全保持对物理性质（包括本征谱和密度矩阵）的控制。
• 该方法表明，与PHG不同，耦合常数展宽不会随所需精度呈指数级增长，因此适用于近期模拟量子模拟器。