[论文解读] Fermionic Luttinger liquids from a microscopic perspective

Manuel Valiente, Lawrence Phillips+2 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过从两体散射相移推导出唯象耦合常数，为一维无自旋费米气体中的Luttinger液体理论建立了微观基础。结果表明，Luttinger模型中的分支间与分支内相互作用均源于分支间散射过程，解释了分支间耦合的未重整化性质，并解决了关于分支内项起源的长期模糊性。

ABSTRACT

We consider interacting one-dimensional, spinless Fermi gases, whose low-energy properties are described by Luttinger liquid theory. We perform a systematic, in-depth analysis of the relation between the macroscopic, phenomenological parameters of Luttinger liquid effective field theory, and the microscopic interactions of the Fermi gas. In particular, we begin by explaining how to model effective interactions in one dimension, which we then apply to the main forward scattering channel -- the interbranch collisions -- common to these systems. We renormalise the corresponding interbranch phenomenological constants in favour of scattering phase shifts. Interestingly, our renormalisation procedure shows (i) how Luttinger's model arises in a completely natural way -- and not as a convenient approximation -- from Tomonaga's model, and (ii) the reasons behind the interbranch coupling constant remaining unrenormalised in Luttinger's model. We then consider the so-called intrabranch processes, whose phenomenological coupling constant is known to be fixed by charge conservation, but whose microscopic origin is not well understood. We show that, contrary to general belief and common sense, the intrabranch interactions appearing in Luttinger liquid theory do not correspond to an intrabranch scattering channel, nor an energy shift due to intrabranch interactions, in the microscopic theory. Instead, they are due to interbranch processes. We finally apply our results to a particular example of an exactly solvable model, namely the fermionic dual to the Lieb-Liniger model in the Tonks-Girardeau and super-Tonks-Girardeau regimes.

研究动机与目标

• 阐明一维费米气体中Luttinger液体理论唯象耦合常数的微观起源。
• 解决Luttinger模型中分支内相互作用物理起源的长期模糊性，该模糊性常被错误归因于同一费米点附近的前向散射。
• 证明Luttinger模型可通过费米点重整化自然地从Tomonaga模型导出，解释分支间耦合的未重整化性质。
• 提供一种系统化的重整化程序，将有效场论参数与微观模型中的实际散射相移联系起来。
• 利用精确可解的Lieb-Liniger和Cheon-Shigehara模型验证该框架，表明在Tonks-Girardeau和超-Tonks-Girardeau区域与已知结果一致。

提出的方法

• 使用前向散射近似和两体散射理论中的相移数据，推导一维费米气体中的有效分支间相互作用。
• 应用重整化程序，将唯象的Luttinger液体参数映射到微观散射相移，特别关注分支间通道。
• 重新解释分支内耦合常数并非源于同分支散射，而是由分支间过程诱导的有效能级位移。
• 使用Lieb-Liniger模型和Cheon-Shigehara模型作为精确基准，测试重整化框架，特别是在Tonks-Girardeau和超-Tonks-Girardeau极限下。
• 将微扰论（一阶Born近似）结果与非微扰相移计算结果进行比较，验证该重整化方案在不同相互作用强度下的适用性。
• 采用Lippmann-Schwinger方程和含指数势与零程势的薛定谔方程精确解，计算相移并验证其与Luttinger液体预测的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Luttinger液体理论中唯象耦合常数如何从一维费米气体中的微观两体相互作用中涌现？
• RQ2 为何Luttinger模型中的分支间耦合常数未被重整化，而Tomonaga模型却需要重整化？
• RQ3 Luttinger模型中分支内相互作用项的真实微观起源是什么？它是否源于同一费米点附近的前向散射？
• RQ4 Tomonaga模型中费米点的重整化是否能自然导出Luttinger模型？如果是，其机制如何？
• RQ5 精确模型如Lieb-Liniger和Cheon-Shigehara在多大程度上验证了所提出的基于相移的重整化框架？

主要发现

• Luttinger模型中的分支间耦合常数自然源于Tomonaga模型中费米点的重整化，解释了其未被重整化的性质。
• Luttinger模型中的分支内相互作用并非源于同分支内的前向散射，而是由分支间散射过程诱导的有效能级位移所致。
• 在Lieb-Liniger模型中，分支间耦合 $ g_2 $ 的一阶Born近似与非微扰相移结果一致，这是由于该模型固有的零程、相移一致的相互作用。
• 对于有限范围的指数势，$ g_2 $ 的一阶Born近似仅在极窄的弱耦合窗口内与精确相移一致，凸显了微扰论的局限性。
• 强排斥的超-Tonks-Girardeau区域与强吸引的Cheon-Shigehara模型区域对应于相移行为的同一区域，证实了相互作用强度的非平凡重整化。
• 该重整化框架成功复现了已知的渐近结果：在Tonks-Girardeau极限下，$ \tilde{K} = 1 + \frac{4}{\gamma} + \mathcal{O}(\gamma^{-2}) $ 和 $ u = 1 - \frac{4}{\gamma} + \mathcal{O}(\gamma^{-2}) $，验证了该方法的有效性。