[论文解读] Feynman Diagrams and Rooted Maps

Andrea Prunotto, W.M. Alberico+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

advanced mathematical theories参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文在量子多体理论中的费曼图与拓扑图论中的根图之间建立了直接的图形对应关系，从而为单粒子传播子的连通费曼图提供了一种新颖的计数方法。通过将每个图映射为一个根图，作者基于图的拓扑定义了亏格，并证明在每个微扰阶数上，图的数量与具有相同边数的根图数量完全匹配，从而为高阶计算提供了一种强大的组合工具。

ABSTRACT

The Rooted Maps Theory, a branch of the Theory of Homology, is shown to be a powerful tool for investigating the topological properties of Feynman diagrams, related to the single particle propagator in the quantum many-body systems. The numerical correspondence between the number of this class of Feynman diagrams as a function of perturbative order and the number of rooted maps as a function of the number of edges is studied. A graphical procedure to associate Feynman diagrams and rooted maps is then stated. Finally, starting from rooted maps principles, an original definition of the genus of a Feynman diagram, which totally differs from the usual one, is given.

研究动机与目标

• 建立一种系统化的图形方法，将多体系统中单粒子传播子的费曼图映射为根图。
• 解决在更高微扰阶数下对连通费曼图进行计数的组合难题。
• 基于根图理论，提出一种新的、基于拓扑的费曼图亏格定义，该定义与标准亏格定义不同。
• 证明在每个微扰阶数上，不同费曼图的数量与具有相同边数的根图数量完全匹配，揭示了一种深刻的组合同构关系。

提出的方法

• 定义了一种图形构造规则，通过在低阶图的传播线中所有可用位置添加相互作用顶点（内线或壳层），生成所有拓扑上不同的费曼图。
• 通过在现有线段的所有可能位置插入新顶点，系统地从一阶的“壳层”和“内线”图构建更高阶图。
• 通过平面内的连续形变判断拓扑等价性；对称性导致的重复图被舍弃，符合费曼的第一条规则。
• 通过将每个图唯一对应到一个根图，正式建立了费曼图与根图之间的对应关系，其中根边对应于初始态与终态的线。
• 基于根图理论重新定义费曼图的亏格，其依据是关联图的亏格，而非图在曲面嵌入中的标准拓扑亏格。
• 通过托查德公式计算第m阶的‘壳层’图数量：(2m−1)!!，该结果与具有m条边的根图计数完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种系统化的图形方法，以生成任意微扰阶数下多体系统中单粒子传播子的所有拓扑上不同的费曼图？
• RQ2 费曼图的数量与根图的数量之间是否存在精确的组合对应关系，且该关系以边数为参数？
• RQ3 如何利用根图理论重新定义费曼图的亏格？该定义与传统的拓扑亏格有何不同？
• RQ4 拓扑等价性与对称性在费曼图计数中起什么作用？如何在算法上加以强制执行？
• RQ5 已知的壳层图公式(2m−1)!!能否通过根图计数方法推导并解释？

主要发现

• 在微扰阶数m下，单粒子传播子的拓扑上不同的费曼图数量与具有m条边的根图数量完全一致，确立了强有力的组合同构关系。
• 在二阶时，构造方法生成了10个不同的图，与已知计数一致，验证了该方法的正确性。
• 在三阶时，该方法生成了74个不同的图，包括15个‘壳层’图和59个通过内线与壳层插入产生的额外图。
• 第m阶的‘壳层’图数量由托查德公式(2m−1)!!给出，该公式通过根图计数方法推导并得到验证。
• 费曼图的亏格被重新定义为对应根图的亏格，提供了一种新颖且数学上严谨的拓扑不变量，与标准亏格定义不同。
• 该图形构造方法虽会产生重复图，但可通过连续形变等价性系统地剔除拓扑等价图，确保计数的准确性。