[论文解读] Feynman Path Integrals Over Entangled States

A. G. Green, C. Hooley+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

advanced mathematical theories被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于矩阵乘积态（MPS）的新型费曼路径积分形式化，使半经典轨迹中能够包含量子纠缠。通过时间依赖变分原理（TDVP）将量子动力学投影到张量网络流形上，该方法捕捉了涌现的经典集体变量，并通过纠缠鞍点描述了禁闭量子临界点和瞬子类效应，为强关联体系提供了新框架。

ABSTRACT

The saddle points of a conventional Feynman path integral are not entangled, since they comprise a sequence of classical field configurations. We combine insights from field theory and tensor networks by constructing a Feynman path integral over a sequence of matrix product states. The paths that dominate this path integral include some degree of entanglement. This new feature allows several insights and applications: i. A Ginzburg-Landau description of deconfined phase transitions. ii. The emergence of new classical collective variables in states that are not adiabatically continuous with product states. iii. Features that are captured in product-state field theories by proliferation of instantons are encoded in perturbative fluctuations about entangled saddles. We develop a general formalism for such path integrals and a couple of simple examples to illustrate their utility.

研究动机与目标

• 开发一种路径积分形式化，通过使用矩阵乘积态（MPS）作为路径配置来引入量子纠缠，克服传统路径积分依赖未纠缠乘积态的局限性。
• 通过纠缠鞍点实现对量子多体系统中非绝热连接相和涌现经典集体变量的描述。
• 提供一种场论框架，通过纠缠鞍点而非乘积态配置来捕捉此前通过瞬子或微扰涨落描述的量子修正。
• 建立张量网络方法（如DMRG）与费曼路径积分形式化之间的桥梁，统一变分原理与路径积分动力学。

提出的方法

• 将路径积分构造为一系列矩阵乘积态（MPS）的加权和，其中每条路径对应于张量网络流形上的半经典轨迹。
• 利用时间依赖变分原理（TDVP）确定主导鞍点路径，将完整量子哈密顿量演化投影到MPS流形上。
• 以MPS参数表示路径积分的作用量，动力学项源自TDVP方程，几何相位亦被包含在内。
• 通过玻色化和布基列维奇变换对鞍点附近的涨落区二次哈密顿量进行对角化，获得色散关系。
• 推导MPS转移矩阵（M1, M2）的条件，以保持玻色子对易关系，并通过酉变换和对角矩阵U, V实现哈密顿量对角化。
• 将有效低能理论映射到涨落区的横向场伊辛模型，其中耦合常数由序参量调制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在如矩阵乘积态等纠缠态上构造费曼路径积分，从而推广标准的乘积态路径积分？
• RQ2 路径积分中的纠缠鞍点如何揭示乘积态近似无法获得的涌现经典集体变量？
• RQ3 在纠缠鞍点涨落中，此前通过瞬子或微扰涨落描述的量子修正能在多大程度上被编码？
• RQ4 在路径积分框架中引入纠缠，如何改善对禁闭量子临界点的描述？

主要发现

• 纠缠路径积分的主导鞍点对应于MPS流形上的时间依赖变分原理（TDVP），产生计算高效且包含纠缠的半经典动力学。
• 该方法通过纠缠鞍点捕捉涌现序参量，实现了对禁闭量子临界点的吉英堡-朗道型描述。
• 纠缠鞍点附近的涨落编码了此前在乘积态场论中归因于瞬子增殖的效应，现被重新解释为微扰量子修正。
• 低能模的色散关系为 ωₗ ∝ √[(1−λ)(1+nˣ)+λ(nᶻ)²][(1−λ)(1+nˣ)+(1−λ)(nᶻ)²]/nᶻ，显示对序参量nᶻ的非平凡依赖。
• 零点能通过项 −1/♯ J₂ 得到修正，有效哈密顿量经布基列维奇变换对角化，其能谱与自旋波理论一致。
• 通过约束MPS转移矩阵，该形式化保持了玻色子对易关系，确保幺正性并符合底层场论的一致性。