[论文解读] Fibrations meromorphes sur certaines varietes de classe canonique triviale

Ekaterina Amerik, Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文研究具有平凡 canonical bundle 的复射影簇上的亚纯纤维化，重点在于超凯勒流形及次数大于1的自同态。证明了对于一般此类簇（Picard 群为 ℤ），任何有理自同态均无法保持非平凡纤维化，并确立了此类映射的动力学行为在 Zariski 拓扑下是稠密的，从而通过 flops 后的全纯模型对纤维化进行了刻画。

ABSTRACT

Motivated by an example, due to Voisin, of a smooth simply-connected projective variety with trivial canonical class and cyclic Picard group, admitting a meromorphic endomorphism of high degree, we study meromorphic fibrations on certain varieties with trivial canonical class. We show (theorem 2.1) that any nontrivial meromorphic fibration of a variety with trivial canonical class and cyclic Picard group is in varieties of general type. Therefore, Voisin's endomorphism cannot preserve a fibration, at least in the generic case. As this example is symplectic, we study meromorphic fibrations on symplectic varieties. In dimension 4 (and in all dimensions modulo minimal model program) we get some results similar to Matsushita's. The main result here is theorem 3.6. We also study the relations between meromorphic endomorphisms and meromorphic fibrations. In particular, we prove that if an endomorphism does not preserve a fibration, then its general iterated orbit is Zariski-dense. We show that some power of an endomorphism preserves the "core" (a natural fibration constructed by the second author), and ask the similar question about the Iitaka fibration.

研究动机与目标

• 确定在具有平凡 canonical bundle 且 Picard 群为 ℤ 的簇上，次数大于1的有理自同态是否能保持非平凡纤维化。
• 通过亚纯纤维化及其在迭代下的不变性，分析此类自同态的动力学行为。
• 建立在有理自同态迭代下，一般点轨道在 Zariski 拓扑下稠密的条件。
• 通过 flops 后的全纯模型，对具有 Kodaira 维数为零的纤维的不可约超凯勒 4-流形上的纤维化进行刻画。
• 将结果推广至不可数域上的函数域，证明有理点的 Zariski 稠密性。

提出的方法

• 利用 Stein 分解及有理自同态下亚纯纤维化的不变性，分析轨道的结构。
• 应用纤维化与双有理几何的理论，证明在超凯勒 4-流形上，若一般纤维的 Kodaira 维数为零，则经一次 flops 后纤维化可赋予全纯模型。
• 利用椭圆纤维化的单值性与模性，界定作用于纤维上的自同构群的阶。
• 通过构造乘法-by-m 映射与商映射，将有理自同态与模曲线及其有理性联系起来。
• 应用特定 N 下模曲线 X₀(N) 的有理性的结果，界定自同构群的阶。
• 应用 Néron-Severi 群与 canonical bundle 的理论，证明在满足 K_X=0 且 NS(X)≅ℤ 的簇上，纤维化必为一般型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有平凡 canonical bundle 且 Picard 群为 ℤ 的光滑射影簇上，次数大于1的有理自同态是否能保持非平凡纤维化？
• RQ2 在何种条件下，有理自同态迭代下一般点的轨道在该类簇上为 Zariski 稠密？
• RQ3 在具有 Kodaira 维数为零的纤维的不可约超凯勒 4-流形上，亚纯纤维化是否在 flops 后存在全纯模型？
• RQ4 对 ℙ¹ 上非常值模数的椭圆纤维化，作用于纤维上的自同构群的阶可被如何界定？
• RQ5 在非可数域 F 上，若簇 X 满足 K_X=0、Pic(X)=ℤ 且存在次数大于1的有理自同态，则是否蕴含 X 在 F 上的有理点在 Zariski 拓扑下稠密？

主要发现

• 对于满足 K_X=0 且 NS(X)≅ℤ 的光滑射影簇 X，任何满足 0<dim(B)<dim(X) 的有理纤维化 g:X⇢B 必为一般型。
• 在 Pic(X)=ℤ 的条件下，若 f:X⇢X 是次数大于1的有理自同态，则一般点在 f 迭代下的轨道在 X 中为 Zariski 稠密。
• 在具有 Kodaira 维数为零的纤维的不可约超凯勒 4-流形上，任意亚纯纤维化在一次 flops 后均存在全纯模型。
• 作用于非常值椭圆纤维化（在 ℙ¹ 上）的纤维上的自同构群的阶被限制为 210ν，其中 ν 是模映射 j:B→ℙ¹ 的度数。
• 在非可数域 F 上，若簇 X 满足 K_X=0、Pic(X)=ℤ 且存在次数大于1的有理自同态，则存在有限扩张 L，使得 X(L) 在 X 中为 Zariski 稠密。
• 在 ℙ⁵ 中光滑三次 4-流形的直线 Fano 变换族提供了一个满足所有假设的具体实例，其上存在次数为 16 的有理自同态。