[论文解读] Filtering Problem for Functionals of Stationary Processes with Missing Observations

Mikhail Moklyachuk, Maria Sidei|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2016

Statistical and numerical algorithms参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文研究了在观测数据受噪声污染且存在缺失区间的条件下，对平稳过程未观测值的函数进行均方最优线性滤波问题。在谱确定性假设下，推导了谱特性与均方误差的公式；在谱不确定性假设下，通过识别最不利谱密度和最小最大谱特性，发展了最小最大鲁棒估计方法，适用于特定的可接受谱密度集合。

ABSTRACT

The problem of the mean-square optimal linear estimation of the functional $Aξ=\ \int\limits_{R^s}a(t)ξ(-t)dt,$ which depends on the unknown values of stochastic stationary process $ξ(t)$ from observations of the process $ξ(t)+η(t)$ at points $t\in\mathbb{R} ^{-} \backslash S $, $S=\bigcup\limits_{l=1}^{s}[-M_{l}-N_{l}, \, \ldots, \, -M_{l} ],$ $R^s=[0,\infty) \backslash S^{+},$ $S^{+}=\bigcup\limits_{l=1}^{s}[ M_{l}, \, \ldots, \, M_{l}+N_{l}]$ is considered. Formulas for calculating the mean-square error and the spectral characteristic of the optimal linear estimate of the functional are proposed under the condition of spectral certainty, where spectral densities of the processes $ξ(t)$ and $η(t)$ are exactly known. The minimax (robust) method of estimation is applied in the case where spectral densities are not known exactly, but sets of admissible spectral densities are given. Formulas that determine the least favorable spectral densities and minimax spectral characteristics are proposed for some special sets of admissible densities.

研究动机与目标

• 解决由于缺失区间导致观测不完整时，对平稳过程函数的最优线性滤波问题。
• 在已知谱密度的假设下（谱确定性），推导谱特性和均方误差的显式公式。
• 通过应用最小最大鲁棒方法，将解扩展到谱不确定性的场景。
• 针对特定类别的可接受谱密度集合，识别出使估计误差最大化的最不利谱密度。
• 确保在谱密度规格存在不确定性时的估计鲁棒性，将最坏情况下的误差最小化。

提出的方法

• 使用希尔伯特空间投影法，以均方意义推导最优线性估计。
• 将维纳-科尔莫戈罗夫滤波理论应用于具有绝对连续谱测度的平稳过程。
• 通过在谱域求解一种类似维纳-霍普夫方程，推导最优估计的谱特性。
• 对谱密度施加最小性条件，以确保最优估计的存在性。
• 应用凸优化和极值问题，确定最小最大框架下最不利谱密度。
• 采用博弈论方法，在一组可接受谱密度上最小化最大可能误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 当观测因缺失区间而不完整时，如何计算平稳过程函数的最优线性估计？
• RQ2 在谱确定性假设下，谱特性和均方误差的显式公式是什么？
• RQ3 当谱密度不完全已知但属于给定的可接受密度集合时，如何使估计具有鲁棒性？
• RQ4 在最小最大意义下，使估计误差最大化的最不利谱密度是什么？
• RQ5 对于给定的可接受谱密度类，使最坏情况误差尽可能小的最小最大谱特性是什么？

主要发现

• 在谱确定性下，本文推导了函数 $ A\xi = \int_{\mathbb{R}^s} a(t)\xi(-t)\,dt $ 的最优线性估计的谱特性和均方误差的显式公式。
• 在最小最大鲁棒情况下，本文在特定可接受密度类中识别出使估计误差最大化的最不利谱密度。
• 最小最大谱特性被表示为在可接受谱密度集合上求解凸优化问题的解。
• 最不利谱密度被表征为涉及信号过程和噪声过程谱密度的极值问题的解。
• 最小最大方法确保在全部可接受谱密度类上，最坏情况下的均方误差被最小化。
• 结果将现有滤波与估计框架推广至包含缺失观测区间的场景，并在数据不完整和模型模糊性下提供了鲁棒解。