[论文解读] Finding, Hitting and Packing Cycles in Subexponential Time on Unit Disk Graphs

Fedor V. Fomin, Daniel Lokshtanov+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2017

Distributed systems and fault tolerance被引用 8

一句话总结

本文提出了在单位圆盘图中寻找、击中和打包环的亚指数时间参数化算法，时间复杂度为 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^\mathcal{O}(1)$。该方法利用了一种新型树分解，其分隔集大小为 $k^{\mathcal{O}(1)}$，且解在每个分隔集上交叉次数至多为 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 次，显著优于先前的界，并在指数时间假设下达到理论极限。

ABSTRACT

We give algorithms with running time $2^{O({\\sqrt{k}\\log{k}})} \\cdot n^{O(1)}$ for the following problems. Given an $n$-vertex unit disk graph $G$ and an integer $k$, decide whether $G$ contains (1) a path on exactly/at least $k$ vertices, (2) a cycle on exactly $k$ vertices, (3) a cycle on at least $k$ vertices, (4) a feedback vertex set of size at most $k$, and (5) a set of $k$ pairwise vertex-disjoint cycles. For the first three problems, no subexponential time parameterized algorithms were previously known. For the remaining two problems, our algorithms significantly outperform the previously best known parameterized algorithms that run in time $2^{O(k^{0.75}\\log{k})} \\cdot n^{O(1)}$. Our algorithms are based on a new kind of tree decompositions of unit disk graphs where the separators can have size up to $k^{O(1)}$ and there exists a solution that crosses every separator at most $O(\\sqrt{k})$ times. The running times of our algorithms are optimal up to the $\\log{k}$ factor in the exponent, assuming the Exponential Time Hypothesis.

研究动机与目标

• 开发单位圆盘图上基本环相关问题的更快参数化算法，此前对于精确环和最长环问题尚未存在亚指数时间算法。
• 通过将平面图中的技术（特别是基于二分维性的技术）扩展到此类几何图类，填补单位圆盘图在参数化复杂性方面的空白。
• 设计一种新型树分解，其中分隔集可较大（$k^{\mathcal{O}(1)}$），但解的交叉次数被限制为 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 次。
• 在指数时间假设下，实现指数部分中 $\log k$ 因子以内的最优运行时间。
• 为几何图类的亚指数时间可解性建立更广泛理论基础，类似于平面图中的二分维性理论。

提出的方法

• 引入一种新型树分解，称为 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$-NCTD（近交叉树分解），适用于单位圆盘图，其分隔集可较大，但解的交叉次数受限。
• 在树分解上使用动态规划，其中每个节点存储关于穿过分隔集的环和路径配置的信息，以大小为 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 的集合 $\cal Z$ 为参数。
• 定义状态条目 $\cal A[v, \cal Z, k']$，用于追踪以 $v$ 为根的子树中与全局解兼容的不相交环和路径。
• 通过将 $\cal Z$ 限制为大小为 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 的集合，基于解的结构特性，将每个节点的相关状态数限制在 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}$ 以内。
• 利用存在一个大小为 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 的击中集 $U \subseteq \beta(v)$ 的事实，该集合可捕获所有穿过分隔集的环，从而实现高效的剪枝。
• 通过结构引理证明正确性，表明任何有效解均可分解为由此类状态捕获的环和路径，确保完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在参数 $k$ 下以亚指数时间求解单位圆盘图上的精确 $k$-环、最长环和反馈顶点集问题？
• RQ2 是否可能为单位圆盘图设计一种树分解，使得在使用大分隔集的同时，仍能实现高效的动态规划且解的交叉次数有限？
• RQ3 能否在单位圆盘图的环问题中，去除亚指数算法中指数部分的 $\log k$ 因子？
• RQ4 是否存在类似于二分维性的理论，适用于单位圆盘图，能保证对一大类问题存在亚指数参数化算法？
• RQ5 能否比之前 $2^{\mathcal{O}(k^{0.75}\log k)}$ 的算法更快求解单位圆盘图上的环打包和路径问题？

主要发现

• 本文在单位圆盘图中寻找、击中和打包环的运行时间达到 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$，优于此前针对反馈顶点集和环打包问题的最优时间界 $2^{\mathcal{O}(k^{0.75}\log k)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。
• 首次为单位圆盘图上的精确 $k$-环和最长环问题提供了亚指数时间参数化算法，此前这些问题是无此类算法的。
• 环打包和反馈顶点集问题的算法运行时间为 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$，显著快于先前的 $2^{\mathcal{O}(k^{0.75}\log k)}$ 界。
• 在指数时间假设下，该运行时间在指数部分的 $\log k$ 因子内达到最优，因为不存在算法能在 $2^{o(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ 时间内运行。
• 关键结构洞见在于：在每个分隔集处，解可由一个大小为 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 的击中集 $U \subseteq \beta(v)$ 捕获，从而将每个节点的状态空间压缩至 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}$。
• 所提出的树分解与动态规划框架为在几何图类上设计亚指数算法提供了新基础，可能可推广至单位圆盘图之外。