[论文解读] Finding Optimal Solutions With Neighborly Help

Elisabet Burjons, Fabian Frei+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了一种预言机模型，研究在邻近实例（例如，删去一条边或添加一条边的子图）的最优解已知时，是否能高效计算NP难图问题（特别是可图染色性和点覆盖问题）的最优解。研究发现，即使能访问所有删去一条边的子图的最优染色解，计算最优染色仍然是NP难的；然而，仅需对两个添加边的超图进行两次查询，即可在多项式时间内找到最优点覆盖，揭示了这两个问题之间显著的结构性二分性，并首次建立了β-点覆盖临界性问题的Θp₂-完全性结果。

ABSTRACT

Can we efficiently compute optimal solutions to instances of a hard problem from optimal solutions to neighboring (i.e., locally modified) instances? For example, can we efficiently compute an optimal coloring for a graph from optimal colorings for all one-edge-deleted subgraphs? Studying such questions not only gives detailed insight into the structure of the problem itself, but also into the complexity of related problems; most notably graph theory’s core notion of critical graphs (e.g., graphs whose chromatic number decreases under deletion of an arbitrary edge) and the complexity-theoretic notion of minimality problems (also called criticality problems, e.g., recognizing graphs that become 3-colorable when an arbitrary edge is deleted). We focus on two prototypical graph problems, Colorability and Vertex Cover. For example, we show that it is NP-hard to compute an optimal coloring for a graph from optimal colorings for all its one-vertex-deleted subgraphs, and that this remains true even when optimal solutions for all one-edge-deleted subgraphs are given. In contrast, computing an optimal coloring from all (or even just two) one-edge-added supergraphs is in P. We observe that Vertex Cover exhibits a remarkably different behavior, demonstrating the power of our model to delineate problems from each other more precisely on a structural level. Moreover, we provide a number of new complexity results for minimality and criticality problems. For example, we prove that Minimal-3-UnColorability is complete for DP (differences of NP sets), which was previously known only for the more amenable case of deleting vertices rather than edges. For Vertex Cover, we show that recognizing beta-vertex-critical graphs is complete for Theta_2^p (parallel access to NP), obtaining the first completeness result for a criticality problem for this class.

研究动机与目标

• 研究NP难图问题的最优解是否能从局部修改的邻近实例的最优解中高效重构。
• 阐明在局部修改下，如可图染色性与点覆盖性等基本问题之间的结构性差异。
• 为最小性与临界性问题建立新的复杂性结果，特别是针对点覆盖与可图染色性问题。
• 探索以邻近实例的最优解作为提示（advice）的形式，作为理解计算难解性的工具，其计算能力的潜力。

提出的方法

• 作者定义了一种预言机模型，其中算法可查询邻近实例（如删去一条边、添加一条边、删去一个顶点或添加一个顶点的子图）的最优解。
• 他们分析了在不同查询访问模式下重构最优解的计算复杂性，区分了边删除、边添加、点删除与点添加的情形。
• 对于可图染色性问题，他们证明即使已知所有删去一条边的子图的最优染色解，计算最优染色仍然是NP难的。
• 对于点覆盖问题，他们证明仅需访问两个添加边的超图，即可在多项式时间内计算出最优点覆盖，尽管该问题在一般情况下是NP难的。
• 他们通过从已知的Θp₂-完全与DP-完全问题进行归约，证明了复杂性下界，特别是针对β-点覆盖临界性与Minimal-3-UnColorability问题。
• 他们建立了临界性问题与布尔层次之间的紧密联系，证明Minimal-3-UnColorability是DP-完全的，而β-点覆盖临界性是Θp₂-完全的。

实验结果

研究问题

• RQ1 若已知所有删去一条边的子图的最优染色解，能否在多项式时间内计算出图的最优染色？
• RQ2 若已知所有删去一条边的子图的最优点覆盖解，是否存在一个多项式时间算法来计算图的最优点覆盖？
• RQ3 当访问受限于添加边的超图而非删去边的子图时，重构最优解的复杂性如何？
• RQ4 在边或点的删减/添加等局部修改下，可图染色性与点覆盖性的结构性特征有何不同？
• RQ5 识别β-点覆盖临界图的精确复杂性类是什么？它与布尔层次之间有何关系？

主要发现

• 即使作为提示提供所有删去一条边的子图的最优染色解，从这些解中计算图的最优染色仍然是NP难的。
• 相比之下，仅需所有删去一条边的子图的最优点覆盖解，即可在多项式时间内计算出图的最优点覆盖。
• 通过仅对两个添加边的超图进行两次查询，即可在多项式时间内计算出最优点覆盖，表明在此模型中，边删除与边添加之间存在根本性的不对称性。
• 判断一个图是否为β-点覆盖临界图的问题是Θp₂-完全的，这是该复杂性类中首个临界性问题的完全性结果。
• Minimal-3-UnColorability被证明是DP-完全的，扩展了先前结果，并确认了布尔层次中最小性问题的难解性。
• 本研究揭示了显著的二分性：对于可图染色性，边删除保持了问题的难解性；而对于点覆盖，结合最少查询访问，边添加可实现可解性。