[论文解读] Fine approximation of convex bodies by polytopes

Márton Naszódi, Fëdor Nazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Point processes and geometric inequalities被引用 1

一句话总结

本文建立了在 d 维空间中，用多面体以 (1−ε) 因子逼近凸体时所需顶点数的精确界限，表明对于任意 ε ∈ (0, 1/2)，O(e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2}) 个顶点已足够。该方法通过非线性变换将原凸体转化为均匀 2-强凸体，应用 Bronshtein–Ivanov 网覆盖帽状区域，并在边界上构造一个具有强下尾界概率测度，通过概率组合方法确保多面体包含性。

ABSTRACT

We prove that for every convex body $K$ with the center of mass at the origin and every $\varepsilon\in \left(0,\frac{1}{2} ight)$, there exists a convex polytope $P$ with at most $e^{O(d)}\varepsilon^{-\frac{d-1}{2}}$ vertices such that $(1-\varepsilon)K\subset P\subset K$.

研究动机与目标

• 通过消除对称性与对数因子，填补凸几何中长期存在的空白。
• 为任意满足 (1−ε)K ⊂P ⊂K 的凸体 K ⊂ ℝ^d 提供接近最优的顶点计数。
• 通过引入非线性变换以统一曲率，消除 Barvinok 在 2012 年结果中出现的 (log 1/ε)^d 因子。
• 建立凸体边界上的测度理论条件，通过概率组合方法保证存在有限 ε-网。
• 通过构造在线性自同构下不变且具有强帽测度下界的测度，统一几何分析与概率方法。

提出的方法

• 通过径向微分同胚 Φδ 将原始凸体 K 变换为均匀 2-强凸体 Φδ(K)，该变换保持凸性并允许应用经典网方法。
• 在变换后的体上使用 Bronshtein–Ivanov 网，构造边界 ∂K 上的有限 ε/2-网 X，其基数至多为 C(d)ε^{-(d+1)/2}，其中 C(d) 是 d 的双指数函数。
• 在 ∂K 上构造一个概率测度 µ，使得对任意 x ∈ ∂K 和 ε ∈ (0, 1/2)，有 µ(S(x, ε)) ≥ pε^{(d−1)/2}，其中 p = e^{O(d)}；该测度通过 K 及其对偶体 K◦ 中锥体的体积比定义。
• 应用组合覆盖引理（Rogers 型），选取边界 ∂K 上大小为 O(p^{-1}ε^{-(d+1)/2} log C(d)) 的有限子集 Y ⊂ ∂K，使其与每个 x ∈ X 对应的帽 S(x, ε/2) 相交。
• 通过涉及 Φδ 和缩放 (1−ε)x 的关键不等式，证明 Φδ(K) 的 ε/2-逼近可推出 K 的 ε-逼近，从而确保 (1−ε)K ⊂ conv(Y)。
• 利用 Blaschke–Santaló 不等式及其逆不等式控制体积积 vol(K)vol(K◦)，这对测度构造和帽测度的下界至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖对称性或对数因子的前提下，将凸体 ε-逼近的顶点数改进为 e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2}？
• RQ2 能否在凸体边界上构造一个概率测度，使得所有高度为 ε 的球帽测度至少为 e^{O(d)}ε^{(d−1)/2}？
• RQ3 能否通过适当的微分同胚将一般凸体的逼近问题约化为均匀 2-强凸体的情形？
• RQ4 对于 ℝ^d 中任意凸体，是否存在一个以 e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2} 为上界的有限 ε-网（按帽覆盖意义）？
• RQ5 满足 (1−ε)K ⊂P ⊂K 的多面体 P 所需的最少顶点数是多少？是否可避免对数因子？

主要发现

• 本文证明：对于任意中心位于原点的凸体 K ⊂ ℝ^d 及 ε ∈ (0, 1/2)，存在一个顶点数不超过 e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2} 的多面体 P，使得 (1−ε)K ⊂P ⊂K。
• 顶点数仅在 e^{O(d)} 因子范围内最优，相比 Barvinok 在 2012 年的结果，去除了 (log 1/ε)^d 因子和对称性假设。
• 关键创新在于使用非线性微分同胚 Φδ 将 K 变换为均匀 2-强凸体，从而可应用经典的 Bronshtein–Ivanov 网。
• 构造了一个 ∂K 上的概率测度 µ，使得对所有 x ∈ ∂K 和 ε ∈ (0, 1/2)，有 µ(S(x, ε)) ≥ e^{O(d)}ε^{(d−1)/2}，从而确保强覆盖性质。
• 该测度 µ 在 ℝ^d 的线性自同构下不变，且通过 K 及其对偶体 K◦ 中锥体的体积比定义，利用了 Santaló 不等式。
• 最终顶点数的上界为 O(e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2})，与目前已知的最佳界限仅在 d 的指数因子上存在差异，且对一般凸体类是紧致的。