[论文解读] Finite Difference Weights Using The Modified Lagrange Interpolant

Burhan Sadiq, Divakar Viswanath|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2011

Numerical methods for differential equations被引用 1

一句话总结

本文提出了一种优化算法，通过使用改进的拉格朗日插值法计算有限差分权重，与福尔纳伯（Fornberg）的方法相比，算术运算量减少了 $4/(5m+5)$ 倍，同时保持了相同的精度。该方法能够稳定计算高阶导数（最高至 $m=16$），并揭示了有限差分公式实现超收敛精度的条件，证明当网格点为实数时，将精度提升超过一阶是不可行的。

ABSTRACT

Let $z_{1},z_{2},...,z_{N}$ be a sequence of distinct grid points. A finite difference formula approximates the $m$-th derivative $f^{(m)}(0)$ as $\sum w_{k}f(z_{k})$, with $w_{k}$ being the weights. We derive an algorithm for finding the weights $w_{k}$ which is an improvement of an algorithm of Fornberg (\emph{Mathematics of Computation}, vol. 51 (1988), p. 699-706). This algorithm uses fewer arithmetic operations than that of Fornberg by a factor of $4/(5m+5)$ while being equally accurate. The algorithm that we derive computes finite difference weights accurately even when $m$, the order of the derivative, is as high as 16. In addition, the algorithm generalizes easily to the efficient computation of spectral differentiation matrices. The order of accuracy of the finite difference formula for $f^{(m)}(0)$ with grid points $hz_{k}$, $1\leq k\leq N$, is typically $\mathcal{O}(h^{N-m})$. However, the most commonly used finite difference formulas have an order of accuracy that is higher than the typical. For instance, the centered difference approximation $(f(h)-2f(0)+f(-h))/h^{2}$ to $f(0)$ has an order of accuracy equal to 2 not 1. Even unsymmetric finite difference formulas can exhibit such superconvergence or boosted order of accuracy, as shown by the explicit algebraic condition that we derive. If the grid points are real, we prove a basic result stating that the order of accuracy can never be boosted by more than 1.

研究动机与目标

• 开发一种计算有限差分权重的更高效算法，以降低计算成本。
• 分析有限差分公式实现超收敛（高于典型水平）精度的条件。
• 将该方法推广至高效计算谱微分矩阵。
• 确立在实网格点下有限差分格式精度提升的理论极限。

提出的方法

• 该算法使用改进的拉格朗日插值形式计算有限差分权重，相较于福尔纳伯的方法提升了计算效率。
• 通过在不同的网格点 $z_k$ 处进行多项式插值，推导出权重 $w_k$，使其通过 $\sum w_k f(z_k)$ 近似 $f^{(m)}(0)$。
• 该方法在保持精度的同时，将算术运算量减少了 $4/(5m+5)$ 倍，尤其在高阶导数计算中效果显著。
• 该方法可自然推广至伪谱方法中谱微分矩阵的构造。
• 推导出一个显式的代数条件，用于判断有限差分公式是否能达到超收敛精度。
• 提供了理论证明，表明当网格点为实数时，精度的提升无法超过一阶，即无法突破典型的 $\mathcal{O}(h^{N-m})$ 收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 准确计算高阶导数的有限差分权重的最低计算成本是多少？
• RQ2 在何种条件下有限差分公式能实现超收敛精度？
• RQ3 该算法能否被扩展以高效计算谱微分矩阵？
• RQ4 在实网格点下，有限差分格式的精度理论上最多可提升多少？
• RQ5 与福尔纳伯算法相比，改进的拉格朗日插值法在运算次数和稳定性方面有何提升？

主要发现

• 所提出的算法相比福尔纳伯方法，将算术运算量减少了 $4/(5m+5)$ 倍，显著提升了效率。
• 该方法即使在 $m=16$ 的高阶导数下，也能实现有限差分权重的精确计算。
• 有限差分公式可实现超收敛精度，本文推导出一个显式的代数条件以识别此类情况。
• 当网格点为实数时，有限差分公式的精度无法超过典型 $\mathcal{O}(h^{N-m})$ 速率一阶以上。
• 该算法可有效推广至谱微分矩阵的高效计算，支持在伪谱方法中的广泛应用。