[论文解读] Finite-Dimensional Representations constructed from Random Walks

Anna Erschler, Narutaka Ozawa|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文为群表示中1-余上循环的有限维直和项建立了概率准则：此类直和项当且仅当沿随机游走轨迹的余上循环的归一化 $ L^2 $-范数以概率收敛于常数时，其上同调平凡。该结果给出了谢拉莫性质 $ H_{\mathrm{FD}} $ 的新充分条件，证明了在无无限拟阿贝尔商群的可约群中，归一化差异测度 $ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ 的收敛性，并表明到希尔伯特空间的调和等变映射可能依赖于超滤子的选择。

ABSTRACT

Given a $1$-cocycle $b$ with coefficients in an orthogonal representation, we show that any finite dimensional summand of $b$ is cohomologically trivial if and only if $\| b(X_n) \|^2/n$ tends to a constant in probability, where $X_n$ is the trajectory of the random walk $(G,μ)$. As a corollary, we obtain sufficient conditions for $G$ to satisfy Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$. Another application is a convergence to a constant in probability of $μ^{*n}(e) -μ^{*n}(g)$, $n\gg m$, normalized by its average with respect to $μ^{*m}$, for any finitely generated amenable group without infinite virtually Abelian quotients. Finally, we show that the harmonic equivariant mapping of $G$ to a Hilbert space obtained as an $U$-ultralimit of normalized $μ^{*n}- g μ^{*n}$ can depend on the ultrafilter $U$ for some groups.

研究动机与目标

• 通过随机游走的随机行为表征1-余上循环的有限维直和项何时上同调平凡。
• 利用 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 的渐近行为，推导群满足谢拉莫性质 $ H_{\mathrm{FD}} $ 的新充分条件。
• 分析在无无限拟阿贝尔商群的可约群中，归一化差异测度 $ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ 的收敛性。
• 研究在超极限构造中，调和等变映射对超滤子选择的依赖性。

提出的方法

• 利用对称随机游走 $ (G,\mu) $ 的轨迹 $ X_n $，分析1-余上循环 $ b $ 的 $ L^2 $-范数增长，特别是 $ \|b(X_n)\|^2 / n $。
• 建立1-余上循环的有限维直和项上同调平凡性与 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 以概率收敛于常数之间的等价性。
• 利用调和余上循环的鞅性质，推导出恒定的期望增长速率 $ \mathbb{E}[\|b(X_n)\|^2]/n = \mathbb{E}[\|b(X_1)\|^2] $。
• 使用超极限构造定义调和等变映射 $ b_{\mu,U}^{p,q} $，并分析其对超滤子 $ U $ 的依赖性。
• 通过格里戈里丘克群的积构造显式例子，以展示超滤子依赖性及 $ \ell_p $-稀疏子群行为。
• 利用凯莱图中球的结构与尺度函数，比较具有同构局部几何的群之间 $ \ell_p $-范数的差异 $ s(\mu^{*n})^q - (\mu^{*n})^q $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机游走轨迹的何种概率条件下，1-余上循环的每个有限维直和项均上同调平凡？
• RQ2 能否利用 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 的渐近行为，推导出群满足谢拉莫性质 $ H_{\mathrm{FD}} $ 的新充分条件？
• RQ3 对于无无限拟阿贝尔商群的无限可约群，$ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ 经其相对于 $ \mu^{*m} $ 的平均归一化后，是否以概率收敛于常数？
• RQ4 作为 $ \mu^{*n} - g\mu^{*n} $ 的 $ U $-超极限得到的调和等变映射 $ b_{\mu,U}^{p,q} $ 是否可能依赖于超滤子 $ U $ 的选择？若是，这种现象在哪些群中发生？

主要发现

• 1-余上循环 $ b $ 的有限维直和项上同调平凡，当且仅当 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 以概率收敛于常数。
• 若 $ \|b(X_n)\|^2 / n \to c $ 以概率收敛，则蕴含群 $ G $ 满足谢拉莫性质 $ H_{\mathrm{FD}} $，从而提供了新的充分条件。
• 对任意有限生成的无限可约群（无无限拟阿贝尔商群），当 $ n \gg m $ 时，$ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ 经其相对于 $ \mu^{*m} $ 的平均归一化后，以概率收敛于常数。
• 作为 $ \mu^{*n} - g\mu^{*n} $ 的 $ U $-超极限得到的调和等变映射 $ b_{\mu,U}^{p,q} $ 可能依赖于超滤子 $ U $，该现象已在某些格里戈里丘克群的积上得到证明。
• 对于特定格里戈里丘克群的 $ D $ 重积，存在至少 $ D $ 个不同的 $ \ell_p $-稀疏子群 $ H_{\mu,p,q} $，每个子群均包含除一个因子群外的所有因子群。
• 对每个 $ j \in \{1, \dots, D\} $，存在一列 $ n_{i,j} $，使得在 $ n_{i,j} $ 处的主要 $ \ell_p $-稀疏子群 $ H_{\mu,p,q} $ 包含 $ \prod_{k \neq j} G_k $。