[论文解读] Finite Element Approximation of Transmission Eigenvalues for Anisotropic Media

Bo Gong, Jiguang Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文通过将问题重新表述为一个指标为零的全纯弗雷德霍姆算子函数的特征值问题，提出了一种用于计算各向异性介质中传输特征值的有限元方法。利用拉格朗日有限元和谱指示法，作者证明了离散逼近的收敛性，并通过数值例子验证了方法，结果显示二阶收敛率。

ABSTRACT

The transmission eigenvalue problem arises from the inverse scattering theory for inhomogeneous media and has important applications in many qualitative methods. The problem is posted as a system of two second order partial differential equations and is essentially nonlinear, non-selfadjoint, and of higher order. It is nontrivial to develop effective numerical methods and the proof of convergence is challenging. In this paper, we formulate the transmission eigenvalue problem for anisotropic media as an eigenvalue problem of a holomorphic Fredholm operator function of index zero. The Lagrange finite elements are used for discretization and the convergence is proved using the abstract approximation theory for holomorphic operator functions. A spectral indicator method is developed to compute the eigenvalues. Numerical examples are presented for validation.

研究动机与目标

• 开发一种针对各向异性介质中传输特征值问题的收敛有限元方法，因为现有收敛性证明仅限于各向同性情形。
• 解决由反散射理论引起的传输特征值问题中非线性和非自伴性带来的挑战。
• 为各向异性情况下的有限元逼近提供严格的收敛性分析，因为以往的数值方法缺乏理论依据。
• 设计一种高效谱指示法（SIM-H），用于计算复谱区域内的特征值。
• 通过在圆形和方形区域上进行数值实验，验证方法在不同各向异性材料参数下的有效性。

提出的方法

• 将各向异性介质中的传输特征值问题重新表述为一个指标为零的全纯弗雷德霍姆算子函数的特征值问题。
• 使用标准拉格朗日有限元对弱形式进行空间离散化。
• 应用全纯算子函数的抽象逼近理论，建立离散特征值的收敛性。
• 实现谱指示法（SIM-H），以在复平面上指定区域内计算特征值。
• 在SIM-H中通过迭代求解多个源问题，利用轮廓积分和投影技术定位特征值。
• 通过相对误差和收敛阶分析，在数值实验中验证收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为各向异性介质中的传输特征值问题，严格证明有限元方法的收敛性？
• RQ2 在变分框架下，如何处理传输特征值问题中的非线性和非自伴性？
• RQ3 各向异性传输特征值的有限元逼近的收敛速率是多少？
• RQ4 能否为非各向同性设置下的复数值传输特征值设计一种鲁棒且高效的特征值求解器？
• RQ5 计算得到的特征值与各向同性情况下的已知结果以及现有文献中关于各向异性介质的结果相比如何？

主要发现

• 有限元方法在圆形和方形区域上的网格细化研究中，对实特征值和复特征值均实现了二阶收敛，结果一致。
• 当 $ A = I $，$ n = 16 $ 时，圆域的最小正实传输特征值在 $ h \to 0 $ 时收敛至约 1.9887，与先前结果一致。
• 当 $ A = I $，$ n = 16 $ 时，方形域的最小正实特征值在网格细化下收敛至约 1.3297。
• 圆域中模最小且实部为正的复传输特征值收敛至约 4.9039 + 0.5782i，与文献值一致。
• 对于各向异性介质中 $ A_1 $ 和 $ A_2 $ 的数值结果表明，特征值一致：$ \lambda_1^R(D_1) \approx 4.880 $ 和 $ \lambda_1^R(D_2) \approx 3.334 $。
• 所提出的方法首次为各向异性介质中传输特征值的有限元逼近提供了严格的收敛性证明。