[论文解读] Finite elements for divdiv-conforming symmetric tensors

Long Chen, Xuehai Huang|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Elasticity and Material Modeling参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文在三角形网格上构建了与散度-散度算子相容的对称张量混合有限元空间，确保法向-法向连续性以及涉及应力导数的额外迹连续性。建立了包含交换图的多项式复形、有限元复形与希尔伯特复形，支持对双调和方程的最优误差估计与超收敛分析，通过旋转方法将框架扩展至旋度-旋度相容的应变元。

ABSTRACT

Two types of finite element spaces on triangles are constructed for div-div conforming symmetric tensors. Besides the normal-normal continuity, the stress tensor is continuous at vertices and another trace involving combination of derivatives of stress is identified. Polynomial complex, finite element complex, and Hilbert complex are presented and a commuting diagram between them is given. The constructed div-div conforming elements are exploited to discretize the mixed formulation of the biharmonic equation. Optimal order and superconvergence error analysis is provided. By rotation, finite elements for rot-rot conforming symmetric strain are also obtained.

研究动机与目标

• 构建三角形网格上与散度-散度算子相容的对称应力张量有限元空间。
• 确保应力张量不仅在法向-法向分量上连续，且在顶点处以及通过涉及应力导数的迹连续。
• 建立包含交换图的多项式复形、有限元复形与希尔伯特复形，以支持有限元方法。
• 将所构造的单元应用于双调和方程的混合公式，实现最优收敛与超收敛分析。
• 通过旋转将框架扩展至旋度-旋度相容的对称应变元。

提出的方法

• 在三角形上构造两类与散度-散度相容的对称张量有限元空间，利用顶点处的自由度、边上的法向-法向矩以及应力导数组合的迹。
• 定义局部自由度，包括顶点处的点值、边上法向-法向分量的 $ L^2 $-投影，以及结合切向导数与散度的迹泛函。
• 引入连接希尔伯特复形、多项式复形与有限元复形的交换图，以在离散化中保持结构。
• 使用所构造的有限元对双调和方程的混合公式进行离散化，采用混合化方法。
• 通过旋转将与散度-散度相容的应力元转换为旋度-旋度相容的应变元，以适用于相关问题。
• 当 $ \ell = k $ 时，采用标准拉格朗日有限元基进行实现，通过标准自由度的张量类比简化计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在三角形网格上为与散度-散度算子相容的对称张量构造有限元空间？
• RQ2 除了法向-法向连续性外，对与散度-散度相容的对称张量而言，哪些额外的连续性条件是必要且充分的？
• RQ3 能否为对称张量的有限元空间建立完整的希尔伯特复形与交换图？
• RQ4 将这些单元应用于双调和方程的混合公式时，可获得哪些误差估计与收敛速率？
• RQ5 如何通过旋转将该框架扩展至旋度-旋度相容的对称应变元？

主要发现

• 所构造的有限元空间在双调和方程的混合公式中实现了最优阶收敛。
• 建立了离散解的超收敛性，表明其收敛速率优于最优阶。
• 自由度包括顶点值、边上的法向-法向矩以及涉及法向分量切向导数与散度的迹泛函，确保唯一性。
• 在希尔伯特复形、多项式复形与有限元复形之间构建了交换图，保持了微分算子的结构。
• 当 $ \ell = k $ 时，自由度退化为标准拉格朗日元自由度的张量形式，可借助标准基函数实现高效计算。
• 通过旋转将该方法扩展至旋度-旋度相容的对称应变元，拓宽了其在相关问题中的适用性。