[论文解读] Finite Elements with Switch Detection for Direct Optimal Control of Nonsmooth Systems

Armin Nurkanović, Mario Sperl+2 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2022

Numerical methods for differential equations被引用 10

一句话总结

本文提出有限元开关检测法（FESD），一种用于直接最优控制具有不连续右端项的非光滑常微分方程的高阶数值方法。FESD将龙格-库塔时间积分器与非线性互补问题及交叉互补条件相结合，实现对时间域内开关事件的检测，实现了最优阶精度与精确的数值敏感性——在相同计算成本下，其精度相比标准时间步长方法最高可提升五个数量级。

ABSTRACT

This paper introduces Finite Elements with Switch Detection (FESD), a numerical discretization method for nonsmooth differential equations. We consider the Filippov convexification of these systems and a transformation into dynamic complementarity systems introduced by [Stewart, 1990]. FESD is based on solving nonlinear complementarity problems and can automatically detect nonsmooth events in time. If standard time-stepping Runge-Kutta (RK) methods are naively applied to a nonsmooth ODE, the accuracy is at best of order one. In FESD, we let the integrator step size be a degree of freedom. Additional complementarity conditions, which we call cross complementarities, enable exact switch detection, hence FESD can recover the high order accuracy that the RK methods enjoy for smooth ODE. Additional conditions called step equilibration allow the step size to change only when switches occur and thus avoid spurious degrees of freedom. Convergence results for the FESD method are derived, local uniqueness of the solution and convergence of numerical sensitivities are proven. The efficacy of FESD is demonstrated in several simulation and optimal control examples. In an optimal control problem benchmark with FESD, we achieve up to five orders of magnitude more accurate solutions than a standard time-stepping approach for the same computational time.

研究动机与目标

• 解决标准时间步长方法在应用于具有不连续向量场的非光滑常微分方程时精度与敏感性不足的问题。
• 通过确保高阶精度与正确的数值敏感性，实现对混合系统与切换系统的直接最优控制。
• 构建一个统一框架，无需预先知晓切换序列，即可检测多个或同时发生的开关事件与滑动模式。
• 通过严格的理论分析，确保在存在非光滑事件时解的收敛性与局部唯一性。
• 提供一种鲁棒且可实现的方法，兼容最优控制中“先离散后优化”的方法论。

提出的方法

• 通过Stewart变换将非光滑常微分方程转化为动态互补系统，实现基于互补性的开关检测。
• 引入交叉互补条件，确保在离散层面实现精确的开关检测，从而保持底层龙格-库塔方法的精度阶次。
• 将时间步长大小作为优化问题中的决策变量，实现自适应步长控制。
• 应用步长均衡化条件，仅在开关事件时允许步长变化，消除虚假自由度。
• 采用同伦法求解所得的互补约束数学规划问题（MPCC），包括弹性模式与松弛同伦法以增强鲁棒性。
• 采用Filippov凸化方法定义不连续向量场的解，并在适当条件下保证解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准时间步长方法在非光滑常微分方程上仅能达到一阶精度时，直接最优控制方法能否实现高阶精度？
• RQ2 在直接多 shooting 框架下，能否对具有状态跳变或滑动模式的非光滑系统实现精确的数值敏感性计算？
• RQ3 所提出的FESD方法是否能在无需预先知晓切换时间或切换序列的情况下，实现对开关的精确检测？
• RQ4 该方法能否在保持高阶收敛性的同时，处理多个或同时发生的开关事件以及滑动模式弧？
• RQ5 在单位CPU时间内的精度方面，FESD相比标准时间步长方法的计算效率如何？

主要发现

• 在相同计算时间下，FESD在最优控制基准测试中相比标准时间步长方法最高可实现五个数量级的精度提升。
• FESD的Radau-IIA与Lobatto-IIIC变体最为高效，而Gauss-Legendre与显式龙格-库塔方法在由滑动模式引起的索引-2 DAEs上会损失其高阶精度。
• FESD通过精确检测开关事件，确保了数值敏感性的完全精确，避免了标准方法中常见的非Lipschitz敏感性问题。
• 已证明FESD方法具有收敛性，且在互补问题的标准假设下，解的局部唯一性得以确立。
• 该方法成功处理了包含滑动模式与多重开关的复杂动力学行为，在多种测试案例中表现出鲁棒性能。
• FESD的实现已集成于开源NOSNOC工具箱中，包含具有状态跳变与非光滑力学行为的示例。