[论文解读] Finite groups of birational selfmaps of threefolds

Yuri Prokhorov, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文在特征零的代数闭域上，对具有非乔丹双有理自同构群的三倍积簇进行了分类。证明了此类群非乔丹当且仅当该三倍积簇双有理等价于 $E \times \mathbb{P}^2$（其中 $E$ 为椭圆曲线）或 $S \times \mathbb{P}^1$，其中 $S$ 为阿贝尔曲面、双椭圆曲面或具有局部平凡雅可比纤维丛的 Kodaira 曲面数 1 曲面。

ABSTRACT

We determine three-dimensional algebraic varieties whose groups of birational selfmaps do not satisfy the Jordan property.

研究动机与目标

• 对双有理自同构群非乔丹的三倍积簇进行分类，该性质与有限子群的有界性相关。
• 将关于双有理自同构群中乔丹性与有限子群有界性的已知结果，从曲面和有理簇推广至三倍积簇。
• 确定三倍积簇的双有理自同构群不具乔丹性的精确几何条件。
• 通过分析纤维丛与曲面基底情形，彻底阐明三维情形下非乔丹双有理自同构群的结构。

提出的方法

• 利用最大有理连通纤维丛（MRC）将分类问题约化为低维基底情形。
• 应用定理 1.6：对具有 $\mathbb{K}$-点的几何有理曲面，其双有理自同构群中有限子群的有界性。
• 利用已有成果：对有理连通与非单有理化簇的双有理自同构群的乔丹性与有界性（定理 1.4）。
• 通过纤维丛上双有理自同构群的正合列分析纤维作用。
• 利用 Kodaira 曲面数 1 曲面的 pluricanonical 纤维丛的雅可比纤维丛，确定局部平凡性条件。
• 通过双有理等价性及 $\mathbb{P}^1$ 乘积的自同构群结构，约化至已知情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种情况下，三倍积簇的双有理自同构群非乔丹？
• RQ2 三倍积簇的何种几何条件会导致其双有理自同构群具有无界有限子群？
• RQ3 哪些曲面 $S$ 会导致 $\operatorname{Bir}(S \times \mathbb{P}^1)$ 非乔丹？
• RQ4 在何种条件下，基底曲面 $S$ 使得 $\operatorname{Bir}(S \times \mathbb{P}^1)$ 非乔丹？
• RQ5 非有理的有理连通三倍积簇的双有理自同构群是否必然非乔丹？

主要发现

• 三倍积簇的双有理自同构群非乔丹当且仅当其双有理等价于 $E \times \mathbb{P}^2$，其中 $E$ 为椭圆曲线。
• 若三倍积簇 $X$ 双有理等价于 $S \times \mathbb{P}^1$，且 $S$ 为阿贝尔曲面，则 $\operatorname{Bir}(X)$ 非乔丹。
• 若三倍积簇 $X$ 双有理等价于 $S \times \mathbb{P}^1$，且 $S$ 为双椭圆曲面，则 $\operatorname{Bir}(X)$ 非乔丹。
• 若三倍积簇 $X$ 双有理等价于 $S \times \mathbb{P}^1$，且 $S$ 为具有局部平凡雅可比纤维丛的 Kodaira 曲面数 1 曲面，则 $\operatorname{Bir}(X)$ 非乔丹。
• 对于最大有理连通纤维丛相对维数为 1 的三倍积簇，$\operatorname{Bir}(X)$ 非乔丹当且仅当基底为椭圆曲线，且 $X$ 双有理等价于 $Y' \times \mathbb{P}^2$。
• 该分类是完整的，其依赖于纤维丛上自同构群的结构及具有 $\mathbb{K}$-点的有理曲面上有限子群的有界性。