[论文解读] Finite quotients of powers of an elliptic curve

Alexandru Chirvăsitu, Ryo Kanda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了商簇 $E^g / \Sigma$，其中 $\Sigma$ 是对称群 $\Sigma_{g+1}$ 的子群，由作用在椭圆曲线 $E$ 的 $g$-重幂上的相邻对换生成，其上存在一个由 $E$ 的若干复本与射影空间的积构成的 étale 覆盖，且伽罗瓦群为阿贝尔群。关键结果是对该覆盖的精确描述，基于 $\Sigma$ 的不动点与轨道结构，推广了对称幂的已知结果，并为理解椭圆代数中的特征簇提供了几何框架。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve. When the symmetric group $Σ_{g+1}$ of order $(g+1)!$ acts on $E^{g+1}$ in the natural way, the subgroup $E_0^{g+1}$, consisting of those $(g+1)$-tuples whose coordinates sum to zero, is stable under the action of $Σ_{g+1}$. It is isomorphic to $E^g$. This paper concerns the structure of the quotient variety $E^g/Σ$ when $Σ$ is a subgroup of $Σ_{g+1}$ generated by simple transpositions. In an earlier paper we observed that $E^g/Σ$ is a bundle over a suitable power, $E^N$, with fibers that are products of projective spaces. This paper shows that $E^g/Σ$ has an étale cover by a product of copies of $E$ and projective spaces with an abelian Galois group.

研究动机与目标

• 确定商簇 $E^g / \Sigma$ 的几何结构，其中 $\Sigma$ 是 $\Sigma_{g+1}$ 的子群，由相邻对换生成，并通过 $E^{g+1}_0$ 上的自然作用作用于 $E^g$。
• 描述一个显式的 étale 覆盖，其伽罗瓦群为阿贝尔群，尤其在基域的特征不整除轨道大小乘积时成立。
• 将 $E^g / \Sigma$ 上的平移自同构提升至其 étale 覆盖，为椭圆代数表示理论中出现的对称性提供几何实现。
• 解决由菲金-奥德斯丘椭圆代数 $Q_{n,k}(E,\tau)$ 的特征簇研究引出的几何问题，证明这些簇同构于此类商簇。

提出的方法

• 作者通过标准嵌入 $\varepsilon$ 将 $E^g$ 识别为 $E^{g+1}$ 中和为零的元组子群 $E_0^{g+1} \subset E^{g+1}$，并分析由相邻对换生成的 $\Sigma \subset \Sigma_{g+1}$ 的作用。
• 他们将指标集 $\{1,\dots,g+1\}$ 分解为不动点集 $J$ 与大小为 $i_1,\dots,i_s$ 的 $\Sigma$-轨道 $I_1,\dots,I_s$，并定义 $d = \gcd(i_1,\dots,i_s)$。
• 该 étale 覆盖被构造为在 $E^{|J|+s-1}$（若 $J=\varnothing$ 则为 $E^{s-1}$）与射影空间积 $\mathbb{P}^{i_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{i_s-1}$ 上的纤维积，其伽罗瓦群为 $E[i_1] \mathbin{\scalebox{1.5}{\scalebox{0.8}{$\ast$}}} \cdots \mathbin{\scalebox{1.5}{\scalebox{0.8}{$\ast$}}} E[i_s]$。
• 该构造依赖于通过 étale 覆盖 $E \times \mathbb{P}^{i_\alpha-1} \to S^{i_\alpha}E$ 从对称幂 $S^{i_\alpha}E$ 提升作用，其伽罗瓦群为 $E[i_\alpha]$，并进一步通过和映射的核将此推广至整个商簇。
• 当 $J=\varnothing$ 时，伽罗瓦群被定义为从 $E[i_1] \times \cdots \times E[i_s]$ 到 $E[d]$ 的和映射 $\sum \frac{i_\alpha}{d} z_\alpha$ 的核，以确保与零和条件的一致性。
• 通过将 $E^g$ 上的平移作用分解为在不动点与轨道子空间上的分量，并验证其与群作用的相容性，实现了自同构的提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\Sigma$ 是 $\Sigma_{g+1}$ 的子群，由相邻对换生成，并作用于 $E^g \cong E_0^{g+1}$ 时，商簇 $E^g / \Sigma$ 的结构是什么？
• RQ2 能否构造一个 $E^g / \Sigma$ 的 étale 覆盖，其伽罗瓦群为阿贝尔群？若能，其几何与群论描述为何？
• RQ3 由 $E^g$ 上与 $\Sigma$ 交换的平移诱导的 $E^g / \Sigma$ 的自同构如何提升至 étale 覆盖？
• RQ4 最大公因数 $d = \gcd(i_1,\dots,i_s)$ 在定义 étale 覆盖的伽罗瓦群中起何作用？
• RQ5 该商簇的结构与菲金-奥德斯丘代数 $Q_{n,k}(E,\tau)$ 的特征簇有何关联？

主要发现

• 当 $J \neq \varnothing$ 时，商簇 $E^g / \Sigma$ 允许一个 étale 覆盖 $\Psi: E^{|J|+s-1} \times \mathbb{P}^{i_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{i_s-1} \to E^g / \Sigma$，其伽罗瓦群为 $E[i_1] \times \cdots \times E[i_s]$。
• 当 $J = \varnothing$ 时，该 étale 覆盖为 $\Psi: E^{s-1} \times \mathbb{P}^{i_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{i_s-1} \to E^g / \Sigma$，其伽罗瓦群为 $E[i_1] \mathbin{\scalebox{1.5}{\scalebox{0.8}{$\ast$}}} \cdots \mathbin{\scalebox{1.5}{\scalebox{0.8}{$\ast$}}} E[i_s]$，即和映射 $\sum \frac{i_\alpha}{d} z_\alpha$ 到 $E[d]$ 的核。
• 该 étale 覆盖与 $E^g / \Sigma$ 在 $E^{|J|+s-1}$ 上的纤维丛结构相容，其纤维为 $\mathbb{P}^{i_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{i_s-1}$，此结果已有前期工作建立。
• 由 $\Sigma$-不变点 $\mathbf{t} \in E^{g+1}$ 诱导的 $E^g / \Sigma$ 上的平移自同构可提升至 étale 覫盖，且保持伽罗瓦群作用不变。
• 该构造为菲金-奥德斯丘代数 $Q_{n,k}(E,\tau)$ 的特征簇提供了几何实现，即同构于 $E^g / \Sigma$，从而解决了长期存在的关于其结构的疑问。
• 上述结果在特征不整除 $i_1 \cdots i_s$ 的代数闭域 $\Bbbk$ 上成立，确保了覆盖的 étale 性质及相关映射的可逆性。