[论文解读] Finite-time Blowup for the Inviscid Primitive Equations of Oceanic and Atmospheric Dynamics

Chongsheng Cao, Slim Ibrahim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文证明了，在某些初始数据类别下，大尺度海洋与大气动力学的三维无粘性原始方程的光滑解会在有限时间内发生爆破。通过在对称性假设下将系统约化为二维模型，并构造显式奇解，作者证明了解在有限时间内失去正则性，突显了尽管在粘性情况下全局适定，无粘性系统仍存在不稳定性。

ABSTRACT

In an earlier work we have shown the global (for all initial data and all time) well-posedness of strong solutions to the three-dimensional viscous primitive equations of large scale oceanic and atmospheric dynamics. In this paper we show that for certain class of initial data the corresponding smooth solutions of the inviscid (non-viscous) primitive equations blow up in finite time. Specifically, we consider the three-dimensional inviscid primitive equations in a three-dimensional infinite horizontal channel, subject to periodic boundary conditions in the horizontal directions, and with no-normal flow boundary conditions on the solid, top and bottom, boundaries. For certain class of initial data we reduce this system into the two-dimensional system of primitive equations in an infinite horizontal strip with the same type of boundary conditions; and then show that for specific sub-class of initial data the corresponding smooth solutions of the reduced inviscid two-dimensional system develop singularities in finite time.

研究动机与目标

• 研究大尺度海洋与大气动力学的无粘性原始方程是否允许全局光滑解，或是否会在有限时间内形成奇点。
• 确定粘性缺失是否导致不稳定性与爆破，即使在粘性版本中全局正则性成立。
• 构造一类初始数据，使得无粘性系统的光滑解在有限时间内变为奇异。

提出的方法

• 假设无粘性原始方程存在光滑解，并施加对称性条件，将三维系统约化为二维模型。
• 推导出原点处垂直速度分量的约化方程，其形式为带有非局部项的非线性偏微分方程。
• 通过求解具有零狄利克雷边界条件的非线性常微分方程边界值问题，构造约化方程的显式爆破解。
• 利用能量估计与格朗沃尔不等式，证明约化方程解的唯一性，确保爆破行为是系统内在特性。
• 将唯一性结果应用于全系统，证明全解必须继承来自约化系统的爆破行为。
• 构造一类初始数据，其在水平方向为正弦模态，在垂直方向具有特定轮廓函数，导致有限时间爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于某些初始数据，三维无粘性原始方程的光滑解是否会在有限时间内形成奇点？
• RQ2 即使粘性版本全局适定，无粘性原始方程中粘性的缺失是否仍会导致不稳定性与爆破？
• RQ3 哪类初始数据会导致无粘性原始方程在有限时间内爆破？
• RQ4 爆破行为能否约化为低维系统，同时保持奇点形成特性？
• RQ5 爆破轮廓的精确结构是什么？爆破发生在何时？

主要发现

• 对于特定类别的初始数据，对应的无粘性原始方程光滑解在有限时间内爆破，具体发生在 t = 1 时刻。
• 爆破源于垂直速度分量正则性的丧失，其增长形式为 1/(1−t)，当 t 趋近于 1 时。
• 通过将系统约化为二维系统并利用具有零狄利克雷边界条件的非线性常微分方程构造显式奇解，证明了爆破的存在。
• 通过能量估计与格朗沃尔不等式建立了约化方程解的唯一性，确保爆破并非非唯一性的产物。
• 爆破解被构造为一参数族，通过在中平面处拼接正负轮廓函数，可形成变号解。
• 即使不考虑科里奥利力，该结果依然成立，表明爆破由非线性静力与对流项驱动，而非旋转效应。