[论文解读] Finite-time synchronization between two different chaotic systems with uncertainties

Meili Lin, Zhengzhong Yuan+1 more|ArXiv.org|Aug 1, 2009

Chaos control and synchronization参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的自适应有限时间同步方法，用于不同混沌系统在未知参数和干扰下的同步，通过引入虚拟未知参数将不确定性与控制器及更新律解耦。该方法根据利普希茨条件是否可用，采用单个或多个虚拟参数，确保有限时间同步，数值结果表明在理论边界内同步时间可缩短至毫秒级。

ABSTRACT

A new method of virtual unknown parameter is proposed to synchronize two different systems with unknown parameters and disturbance in finite time. Virtual unknown parameters are introduced in order to avoid the unknown parameters from appearing in the controllers and parameters update laws when the adaptive control method is applied. A single virtual unknown parameter is used in the design of adaptive controllers and parameters update laws if the Lipschitz constant on the nonlinear function can be found, while multiple virtual unknown parameters are adopted if the Lipschitz constant cannot be determined. Numerical simulations show that the present method does make the two different chaotic systems synchronize in finite time.

研究动机与目标

• 解决不同混沌系统在未知参数和外部干扰下实现有限时间同步的挑战。
• 克服传统自适应控制中未知参数直接出现在控制器和更新律中的局限性。
• 提出一种系统化方法，即使非线性函数的利普希茨常数难以确定，也能保证有限时间收敛。
• 通过在罗尔兹、洛伦兹和蔡氏电路系统上的数值仿真，验证所提方法的有效性。

提出的方法

• 引入单个虚拟未知参数以吸收真实未知参数的影响，防止其出现在控制器和参数更新律中。
• 基于李雅普诺夫的有限时间稳定性分析，设计自适应控制器，确保在有限时间内实现同步。
• 采用包含 $ e^{\beta} $ 项的控制律，其中 $ \beta < 1 $，以实现有限时间收敛，$ e $ 为同步误差。
• 当利普希茨常数未知时，采用多个虚拟未知参数以界定非线性函数，实现鲁棒控制设计。
• 设计参数更新律，利用误差动态和李雅普诺夫稳定性理论自适应估计虚拟参数。
• 将原系统转换为包含虚拟参数向量的等效形式，以促进控制器综合，同时保持系统动力学特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当存在未知参数和干扰时，如何实现两个不同混沌系统之间的有限时间同步？
• RQ2 虚拟未知参数在将真实不确定性与控制器及更新律解耦中起什么作用？
• RQ3 当非线性函数的利普希茨常数未知或难以计算时，能否保证有限时间同步？
• RQ4 所提方法的理论收敛时间是多少？与数值结果相比如何？
• RQ5 所提控制器在洛伦兹和罗尔兹等实际混沌系统中，其鲁棒性和收敛速度表现如何？

主要发现

• 所提方法在数值仿真中实现了不同混沌系统（如罗尔兹与洛伦兹系统）之间的有限时间同步，耗时约 0.002 秒。
• 第一个示例的理论收敛时间计算为 16.8148 秒，与数值结果的差异归因于设计参数选择过于保守。
• 在第二个示例（罗尔兹与洛伦兹系统）中，数值结果显示同步耗时 0.0008 秒，理论边界为 29.2494 秒。
• 使用多个虚拟未知参数能有效处理利普希茨常数无法确定的情况，实现鲁棒控制器设计。
• 控制器结构避免了对未知参数的直接依赖，提升了实际可实施性与稳定性。
• 数值结果证实误差向量 $ e $ 在有限时间内收敛至零，验证了理论分析的正确性及自适应控制策略的有效性。