[论文解读] Finite volume form factors and correlation functions at finite temperature

Balázs Pozsgay|ArXiv.org|Jul 24, 2009

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 4被引用 8

一句话总结

本论文为可积1+1维量子场论构建了一个有限体积矩阵元框架，通过密度因子将有限体积矩阵元与无限体积形式因子联系起来。该研究系统地展开了热 correlator 的低温展开，通过正确处理非连通贡献修正了先前方法中的不一致性，并在主导阶确认了 LeClair-Mussardo 公式，同时识别出高阶项中因发散项处理不当而产生的偏差。

ABSTRACT

In this thesis we investigate finite size effects in 1+1 dimensional integrable QFT. In particular we consider matrix elements of local operators (finite volume form factors) and vacuum expectation values and correlation functions at finite temperature. In the first part of the thesis we give a complete description of the finite volume form factors in terms of the infinite volume form factors (solutions of the bootstrap program) and the S-matrix of the theory. The calculations are correct to all orders in the inverse of the volume, only exponentially decaying (residual) finite size effects are neglected. We also consider matrix elements with disconnected pieces and determine the general rule for evaluating such contributions in a finite volume. The analytic results are tested against numerical data obtained by the truncated conformal space approach in the Lee-Yang model and the Ising model in a magnetic field. In a separate section we also evaluate the leading exponential correction (the $μ$-term) associated to multi-particle energies and matrix elements. In the second part of the thesis we show that finite volume factors can be used to derive a systematic low-temperature expansion for correlation functions at finite temperature. In the case of vacuum expectation values the series is worked out up to the third non-trivial order and a complete agreement with the LeClair-Mussardo formula is observed. A preliminary treatment of the two-point function is also given by considering the first nontrivial contributions.

研究动机与目标

• 建立用于计算可积量子场论中有限体积形式因子的一致性框架。
• 解决先前关于热相关函数方法中出现的不一致性，特别是非连通贡献发散的问题。
• 利用有限体积矩阵元推导一和二点函数的低温展开。
• 通过系统分析有限尺寸修正与正则化方法，验证或修正现有提议（尤其是 LeClair-Mussardo 提议）。
• 通过密度因子将有限体积谱与无限体积形式因子关联，将形式因子程序推广至有限温度情形。

提出的方法

• 利用 Bethe-Yang 量化的有限体积形式因子方法，并结合 1+1D 可积模型中的精确 S 矩阵 bootstrap 方法。
• 应用截断的共形子空间方法（TCSA）在标度 Lee-Yang 模型和磁场中的伊辛模型中数值计算形式因子。
• 通过相互作用粒子密度 ρ(n) 而非自由理论密度，将有限体积算符矩阵元与无限体积形式因子关联。
• 利用谱表示对热相关函数进行低温展开，通过正则化方法仔细处理发散的非连通项。
• 将所得展开与 LeClair-Mussardo 及 Delfino 的提议进行比较，识别出早期工作中因正则化不当导致的偏差。
• 使用体积 L 作为正则化器以控制发散，表明正幂次的 L 项可精确抵消，从而得到有限的物理结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可积1+1维QFT中，如何一致地计算有限体积形式因子，特别是在非连通贡献发散的情况下？
• RQ2 热一和二点函数的正确低温展开是什么？与现有提议相比有何差异？
• RQ3 为何先前关于热相关函数的方法在高阶失效？何种正则化方案可解决这些问题？
• RQ4 LeClair-Mussardo 公式在多大程度上成立？其偏差源于对发散项的不当处理吗？
• RQ5 有限体积形式因子程序能否推广至非对角散射理论和无质量模型？

主要发现

• 本文指出，先前关于热相关函数的提议在 e^{-2mR} 阶及更高阶失效，原因在于非连通贡献的正则化不当；本工作通过使用相互作用密度 ρ(n) 修正了这一问题。
• 一阶函数的低温展开主导项与 LeClair-Mussardo 公式一致，证实了该公式的该阶有效性。
• 二阶函数的主导项计算结果也与 LeClair-Mussardo 方法一致，提供了支持其在该层次一致性的新未发表结果。
• L 相关项（正幂次 L）的抵消至关重要，且被证明精确发生，确保正则化后得到有限的物理结果。
• 该框架成功再现了矩阵元和相关函数的正确有限尺寸修正，与 Lee-Yang 和伊辛模型中的已知精确结果一致。
• 本工作确立了：只要已知精确的有限体积形式因子，即可通过欧氏旋转使用有限体积形式因子计算热相关函数——这凸显了在一般模型中建立类似 TBA 的方程的必要性。