[论文解读] First order formalism of holographic Wilsonian renormalization group: Langevin equation

Jae-Hyuk Oh|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文建立了通过朗之万方程的随机量化与反 de Sitter 空间（AdS₆）中全息威尔逊重正化群（WRG）流之间的精确数学映射，表明在共形耦合标量理论中，随机三点函数在随机时间 t 与径向坐标 r 对应时，恰好重现全息三迹算符在径向（能量尺度）流下的演化。关键结果是：在 t = r 时，连通的随机三点函数与全息三迹算符完全匹配。

ABSTRACT

We study a mathematical relationship between holographic Wilsonian renormalization group and stochastic quantization framework. We extend the original proposal given in arXiv:1209.2242 to interacting theories. The original proposal suggests that fictitious time(or stochastic time) evolution of stochastic 2-point correlation function will be identical to the radial evolution of the double trace operator of certain classes of holographic models, which are free theories in AdS space. We study holographic gravity models with interactions in AdS space and establish a map between the holographic renormalization flow of multi-trace operators and stochastic $n$-point functions. To give precise examples, we extensively study conformally coupled scalar theory in AdS$_6$. What we have found is that the stochastic time $t$ dependent 3-point function obtained from Langevin equation with its Euclidean action being given by $S_E=2I_{os}$ is identical to holographic renormalization group evolution of holographic triple trace operator as its energy scale $r$ changes once an identification of $t=r$ is made. $I_{os}$ is the on-shell action of holographic model of conformally coupled scalar theory at the AdS boundary. We argue that this can be fully extended to mathematical relationship between multi point functions and multi trace operators in each framework.

研究动机与目标

• 建立随机量化与相互作用 AdS 理论中全息威尔逊重正化群（WRG）流之间的数学对应关系。
• 将原始的将随机时间演化与径向 WRG 流联系起来的提议，从自由理论推广至相互作用全息模型。
• 证明朗之万框架中的随机 n 点函数精确映射到全息 WRG 中的多迹算符。
• 在 AdS₆ 中共形耦合标量理论的情况下，提供该对偶性的具体、定量验证。
• 确认在 t = r 的识别下，随机三点函数与全息三迹算符之间的等价性。

提出的方法

• 使用全息理论的一阶形式推导多迹算符的哈密顿-雅可比方程及其解。
• 应用具有欧氏作用量 SE = 2Ios 的随机量化框架，其中 Ios 是共形耦合标量理论的在壳作用量。
• 通过路径积分方法求解具有高斯白噪声 η(x,t) 的场算符 fp(t) 的朗之万方程，推导出随机相关函数。
• 利用朗之万方程的解与高斯噪声相关性，通过微扰论在耦合常数 λ 的首阶下计算随机三点函数。
• 通过 t = r 的识别，将所得随机三点函数与从 WRG 流导出的全息三迹算符进行比较。
• 采用精确的高斯积分技巧与狄拉克 δ 函数约束，评估相关函数并提取连通与不连通部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 朗之万框架中 n 点函数的随机时间演化是否精确重现全息威尔逊重正化群中多迹算符的径向演化？
• RQ2 随机量化与全息 WRG 之间的映射能否从自由理论推广至相互作用理论？
• RQ3 在 AdS₆ 中，随机三点函数与全息三迹算符之间是否存在精确的数学等价性？
• RQ4 在全息背景下，随机时间 t 与径向坐标 r 之间有何关系？
• RQ5 随机三点函数的不连通（泡状图）部分与连通部分如何与全息三迹算符的结构相关？

主要发现

• 通过朗之万方程与 SE = 2Ios 计算的随机三点函数，在 t = r 时与全息三迹算符演化完全匹配。
• 随机三点函数的连通部分由涉及径向时间 t 的双曲函数和动量依赖衰减率 Gpi₂ = |pi| 的紧凑表达式给出。
• 不连通（泡状图）贡献来自自能修正，与 δ(5)(p3)δ(5)(p1 + p2) 成正比，反映了在相互作用存在下真空期望值非零。
• 当 t = r 且积分常数通过下限为 τ = θ 的定积分确定时，完整的随机三点函数与全息三迹算符表达式（3.44）完全匹配。
• 涉及双曲正弦函数的恒等式（5.119）在将随机结果的功能形式与全息算符表达式匹配中起关键作用。
• 匹配是精确的，包括常数项 −1 + Σj (Σl Gpl₂ / (Σm Gpm₂ − 2Gpj₂))，该常数项由全息解（5.120）中定积分的下限 θ 精确再现。