[论文解读] Five Constructions of Permutation Polynomials over $\gf(q^2)$

Cunsheng Ding, Pingzhi Yuan|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出五种基于 $\mathrm{GF}(q)$ 上已知置换多项式的 $\mathrm{GF}(q^2)$ 上置换多项式的通用构造方法，包括四种递归方法，可生成 $\mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ 上的无限族，适用于任意 $\ell \geq 1$，以及一种基于 o-多项式的非递归构造方法，适用于 $\mathrm{GF}(2^{2m})$。其主要贡献在于通过特征 2 中 o-多项式与置换多项式之间新颖的联系，系统地生成了无穷多个新的置换多项式。

ABSTRACT

Four recursive constructions of permutation polynomials over $\gf(q^2)$ with those over $\gf(q)$ are developed and applied to a few famous classes of permutation polynomials. They produce infinitely many new permutation polynomials over $\gf(q^{2^\ell})$ for any positive integer $\ell$ with any given permutation polynomial over $\gf(q)$. A generic construction of permutation polynomials over $\gf(2^{2m})$ with o-polynomials over $\gf(2^m)$ is also presented, and a number of new classes of permutation polynomials over $\gf(2^{2m})$ are obtained.

研究动机与目标

• 基于 $\mathrm{GF}(q)$ 上已知的置换多项式，发展 $\mathrm{GF}(q^2)$ 上置换多项式的递归与非递归构造方法。
• 建立 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上 o-多项式与 $\mathrm{GF}(2^{2m})$ 上置换多项式之间通用的关联方法。
• 从单个 $\mathrm{GF}(q)$ 上的置换多项式出发，生成 $\mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ 上无穷多个新的置换多项式，其中 $\ell \geq 1$。
• 扩展已知的 o-多项式族，并提供构造新类置换多项式的条件。
• 通过基表示与域自同构，证明置换行为的充分必要条件，从而解决置换多项式构造中的开放问题。

提出的方法

• 利用定理 1：当通过 $\mathrm{GF}(q)$ 上的非奇异矩阵变换表示时，$\mathrm{GF}(q^m)$ 上的多项式 $F(z)$ 是置换多项式，当且仅当其分量函数 $f_i(x)$ 是 $\mathrm{GF}(q)$ 上的置换多项式。
• 将 $\mathrm{GF}(q^2)$ 的元素表示为 $z = x + y\beta$ 的线性组合，其中 $x, y \in \mathrm{GF}(q)$，基于 $\mathrm{GF}(q)$ 上的基 $\{1, \beta\}$。
• 通过将 $\mathrm{GF}(q)$ 上的置换多项式递归提升至 $\mathrm{GF}(q^2)$，并进一步迭代至 $\mathrm{GF}(q^{2^\ell})$，利用矩阵变换与分量上的置换行为。
• 提出一种在 $\mathrm{GF}(2^{2m})$ 上的非递归构造方法，通过将 $x, x^q, x^{q^2}$ 的线性组合与含 $u\alpha^2$ 的项（其幂次为 $t$）结合，利用当 $q \equiv 1 \pmod{3}$ 时 $\mathrm{GF}(q)$ 中单位根 $\omega$ 的性质。
• 采用类似迹的表达式 $x + x^q + x^{q^2}$ 及其在弗罗贝尼乌斯自同构下的变换，分析所构造多项式的置换行为。
• 应用条件：当且仅当分量的标量系数非零，且在 $\mathrm{GF}(q)$ 上约化后的单变量多项式是置换多项式时，$F(x)$ 是 $\mathrm{GF}(q^3)$ 上的置换多项式，利用 $\alpha^q = \omega\alpha$ 与 $\alpha^{q^2} = \omega^2\alpha$ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过递归方法，系统地从 $\mathrm{GF}(q)$ 上已知的置换多项式构造 $\mathrm{GF}(q^2)$ 上的置换多项式？
• RQ2 在 $\mathrm{GF}(q^3)$ 上，形式为 $F(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + \omega x^q + \omega^2 x^{q^2} + u\alpha^2)^t$ 的多项式在什么条件下是置换多项式？
• RQ3 如何利用 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的 o-多项式生成 $\mathrm{GF}(2^{2m})$ 上的新置换多项式？
• RQ4 当 $t \equiv 1 \pmod{3}$ 时，系数 $a, b, c, u$ 与指数 $t$ 满足何种条件，可使构造的多项式 $F_1(x)$ 是 $\mathrm{GF}(q^3)$ 上的置换多项式？
• RQ5 所提出的构造方法能否为任意 $\ell \geq 1$ 生成 $\mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ 上无穷多个新的置换多项式？
• RQ6 key_findings

主要发现

• 四种递归构造方法可从单个 $\mathrm{GF}(q)$ 上的置换多项式出发，生成 $\mathrm{GF}(q^{2^\ell})$ 上无穷多个置换多项式，适用于任意 $\ell \geq 1$。
• 基于 o-多项式的 $\mathrm{GF}(2^{2m})$ 上的非递归构造方法，产生了新的置换多项式类，扩展了特征 2 中已知的族。
• 对于 $\mathrm{GF}(q^3)$ 上的多项式 $F(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + x^q + x^{q^2} + u)^t$，$F(x)$ 是置换多项式当且仅当 $(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$，且 $(a+b+c)x + 3x^t$ 是 $\mathrm{GF}(q)$ 上的置换多项式。
• 当 $t \not\equiv 1 \pmod{3}$ 时，多项式 $F_1(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + \omega x^q + \omega^2 x^{q^2} + u\alpha^2)^t$ 是 $\mathrm{GF}(q^3)$ 上的置换多项式，当且仅当 $(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$。
• 当 $t \equiv 1 \pmod{3}$ 时，$F_1(x)$ 是 $\mathrm{GF}(q^3)$ 上的置换多项式，当且仅当 $(a+b+c)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$，且 $(a+b\omega^2+c\omega)x + \alpha^{2(t-1)}3x^t$ 是 $\mathrm{GF}(q)$ 上的置换多项式。
• 这些构造适用于任意素幂 $q$，且当 $q \equiv 1 \pmod{3}$ 时尤为有效，此时可在分析中使用单位根 $\omega$。