[论文解读] Fixed Point Approximation of Suzuki Generalized Nonexpansive Mappings via New Faster Iteration Process

Nawab Hussain, Kifayat Ullah+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 19被引用 26

一句话总结

本文提出了一种新的 K 迭代过程，用于在一致凸巴拿赫空间中逼近 Szuaki 广义非扩张映射的不动点。通过分析和数值方法证明，K 迭代过程在收敛速度上优于现有的 Picard-S、Thakur New 和 Vatan 两步迭代方法，同时证明了其稳定性、数据依赖性以及弱/强收敛定理，从而推广并改进了不动点理论中的现有结果。

ABSTRACT

In this paper we propose a new iteration process, called the K iteration process, for approximation of fixed points. We show that our iteration process is faster than the existing leading iteration processes like Picard-S iteration process, Thakur New iteration process and Vatan Twostep iteration process for contraction mappings. We support our analytic proof by a numerical example. Stability of K iteration process and data dependence result for contraction mappings by employing K iteration process is also discussed. Finally we prove some weak and strong convergence theorems for the Suzuki generalized nonexpansive mappings in the setting of uniformly convex Banach space. Our results are extension, improvement and generalization of many known results in the literature of fixed point theory.

研究动机与目标

• 提出一种新的迭代过程——称为 K 迭代过程——用于逼近 Szuaki 广义非扩张映射的不动点。
• 通过分析和数值方法证明，K 迭代过程在收缩映射中收敛速度快于现有主流迭代过程。
• 在收缩映射下，证明 K 迭代过程的稳定性和数据依赖性结果。
• 在一致凸巴拿赫空间中，为 Szuaki 广义非扩张映射建立弱收敛和强收敛定理。
• 通过将收敛性质推广至更广泛的映射类，推广并改进不动点理论中的现有结果。

提出的方法

• 提出一种新的两步迭代格式——K 迭代过程，其定义涉及参数 αₙ 和 βₙ（取值于 [a,b]，且满足 0 < a ≤ b < 1）的特定递推关系。
• 采用分析比较技术，证明 K 迭代过程在收缩映射下收敛速度快于 Picard-S、Thakur New 和 Vatan 两步迭代过程。
• 利用 Suzuki 提出的条件 (C) 概念来定义广义非扩张映射，该类映射推广了非扩张映射和收缩映射。
• 利用巴拿赫空间的 Opial 性质和一致凸性，证明 K 迭代过程的弱收敛和强收敛定理。
• 通过一个数值例子（T(x) = (x+2)^(1/3) 在区间 [0,4] 上）比较 K 迭代、Picard-S、Thakur New 和 Vatan 两步迭代的收敛速度。
• 利用条件 (I) 和一个函数 f，证明在映射 T 满足条件 (I) 的假设下，K 迭代过程可实现强收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 所提出的 K 迭代过程在收缩映射下是否比 Picard-S、Thakur New 和 Vatan 两步迭代等现有主流迭代方法收敛更快？
• RQ2 K 迭代过程在映射或初始数据发生微小扰动时是否具有稳定性？
• RQ3 K 迭代过程在一致凸巴拿赫空间中是否能实现 Szuaki 广义非扩张映射的弱收敛和强收敛？
• RQ4 对于收缩映射，K 迭代过程计算出的不动点的数据依赖行为如何？
• RQ5 K 迭代过程在收敛速度方面与其它已建立的迭代格式相比，其数值表现如何？

主要发现

• 通过分析比较和数值证据确认，K 迭代过程在收缩映射下收敛速度快于 Picard-S、Thakur New 和 Vatan 两步迭代过程。
• 在 T(x) = (x+2)^(1/3) 的数值例子中，K 迭代过程在 8 次迭代内达到不动点 1.521379706804568，优于其他方法的收敛速度。
• K 迭代过程在收缩映射下被证明是稳定的，表明其在输入或映射存在微小误差时仍具鲁棒性。
• 建立了数据依赖性结果，表明通过 K 迭代过程计算出的不动点对映射参数具有连续依赖性。
• 在一致凸巴拿赫空间和参数约束条件下，若映射满足条件 (I)，则 K 迭代过程可实现强收敛至不动点。
• 本文通过将收敛结果推广至 Szuaki 广义非扩张映射（其包含非扩张映射和收缩映射作为特例），推广并改进了现有不动点收敛结果。