[论文解读] Fixed Point Theorems for Hypersequences and the Foundation of Generalized Differential Geometry I: The Simplified Algebra

S. O. Juriaans, J. Oliveira|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Mathematical and Theoretical Analysis被引用 1

一句话总结

本文在柯洛梅乌广义函数中建立了超序列的奠基性不动点定理，使分布乘积微分方程的存在性与唯一性证明成为可能。本文引入了一种广义微分 calculus，扩展了经典微分几何，表明经典流形可离散地嵌入广义流形中，且代数中的关联关系是拓扑性的，而非代数性的。

ABSTRACT

Fixed point theorems are one of the many tools used to prove existence and uniqueness of differential equations. When the data involved contains products of distributions, some of these tools may not be useful. Thus rises the necessity to develop new environments and tools capable of handling such situations. The foundations of a Generalized Differential Geometry is set having Classical Differential Geometry as a discontinuous subcase, a fixed point theorem for hypersequences is proved in the context of Colombeau Generalized Functions and it is shown how it can be used to obtain existence and uniqueness of differential equations whose data involve products of distributions. Thus also setting the foundations of a Generalized Analysis. The strain is also picked up setting the foundations of generalized manifolds and shown that each classical manifold can be discretely embedded in a generalized manifold in such a way that the differential structure of the latter is a natural extension of the differential structure of the former. It is inferred that $\ {\cal{D}}^{\prime}(Ω)$ is discretely embedded in $\ {\cal{G}}(Ω)$, that the elements of $\ C^{\infty}(Ω)$ form a grid of equidistant points in $\ {\cal{G}}(Ω)$ and that association in $\ {\cal{G}}(Ω)$ is a topological and not an algebraic notion. Ergo, classical solutions to differential equations are scarce. These achievements reckoned upon the Generalized Differential Calculus invented by the first author and his collaborators. Hopefully, Generalized Differential Calculus and the developments presented in this paper, may be of interest to those working in Analysis, Applied Mathematics, Geometry and Physics.

研究动机与目标

• 在柯洛梅乌广义函数代数中发展内在的不动点定理，以求解含分布乘积的微分方程。
• 建立广义微分 calculus 作为广义微分几何的基础，扩展经典微分学。
• 证明经典流形可离散地嵌入广义流形中，同时保持并扩展其微分结构。
• 阐明柯洛梅乌代数 G(Ω) 中的关联关系是拓扑概念而非代数概念，挑战经典解稀少的观念。
• 通过在广义设定下证明关键定理（如反函数定理、隐函数定理等），为广义分析与几何奠定基础。

提出的方法

• 在柯洛梅乌代数的背景下引入超序列，以推广收敛性与不动点论证。
• 应用先前工作中开发的广义微分 calculus，定义广义流形上的可微性、反函数映射与隐函数。
• 使用精细版本的比阿吉奥尼-斯卡尔佩洛斯拓扑（即尖锐拓扑），以确保与 G(Ω) 的代数结构相容。
• 通过取值于 R^n 开子集的局部坐标图构建广义流形，可微性通过广义导数定义。
• 利用嵌入定理表明 R^n 离散地嵌入 R^n，且经典时空被视为等距点的网格。
• 在广义设定下应用隐函数定理，证明正则值的原像为广义子流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在柯洛梅乌代数中内在地发展不动点定理，以求解含分布乘积的微分方程？
• RQ2 如何构建广义微分几何，作为经典微分几何的一致性扩展？
• RQ3 经典流形嵌入广义流形中的性质是什么？其微分结构如何被保持？
• RQ4 柯洛梅乌代数 G(Ω) 中的关联关系是代数概念还是拓扑概念？对经典解有何影响？
• RQ5 在广义设定下，正则值的原像在何种条件下构成广义子流形？

主要发现

• 在柯洛梅乌代数中建立了关于超序列的不动点定理，使含分布乘积的微分方程的存在性与唯一性结果成为可能。
• 经典流形可离散地嵌入广义流形中，且广义微分结构扩展了经典结构。
• 空间 D′(Ω) 离散地嵌入 G(Ω)，且 C∞(Ω) 在 G(Ω) 中形成等距点的网格，暗示离散时空结构。
• G(Ω) 中的关联关系是拓扑概念，而非代数概念，意味着经典解稀少且无法通过代数方式定义。
• 广义流形满足广义版本的反函数映射定理、隐函数定理及局部浸入定理。
• 广义流形的例子包括具有有界导数的 C∞ 函数的图像、球面，以及点的包络（该对象不是经典流形）。