[论文解读] Fixed-Time Stable Proximal Dynamical System for Solving Mixed Variational Inequality Problems

Kunal Garg, Mayank Baranwal+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文提出了一种固定时间稳定的近端动力系统，可保证在与初始条件无关的统一有界时间内收敛至混合变分不等式问题（MVIP）的解。在强单调性和利普希茨连续性条件下，该系统确保了解的唯一存在性及有限时间收敛性，并进一步推广至伪单调性及离散化稳定性。

ABSTRACT

In this paper, a novel modified proximal dynamical system is proposed to compute the solution of a {mixed variational inequality problem} within a fixed time, where the time of convergence is finite, and is uniformly bounded for all initial conditions. Under the assumptions of strong monotonicity and Lipschitz continuity, it is shown that a solution of the modified proximal dynamical system exists, is uniquely determined and converges to the unique solution of the associated mixed variational inequality problem (MVIP) within a fixed time. As a special case for solving variational inequality problems, the modified proximal dynamical system reduces to a fixed-time stable projected dynamical system. Furthermore, the fixed-time stability of the modified projected dynamical system continues to hold, even if the assumptions of strong monotonicity are relaxed to that of strong pseudomonotonicity. Connections to convex optimization problems are discussed, and commonly studied dynamical systems in the continuous-time optimization literature are shown as special cases of the modified proximal dynamical system proposed in this paper. Finally, it is shown that the discretization of the proposed scheme converges to an arbitrarily small neighborhood of the solution of the associated MVIP within a fixed number of steps, independent of the initial conditions. Two numerical examples are presented, which give numerical evidence in support of the fixed-time convergent behavior of the proposed modified proximal dynamical system.

研究动机与目标

• 开发一种动力系统，用于求解混合变分不等式问题（MVIPs），实现固定时间收敛，确保收敛时间在所有初始条件下均受统一上界约束。
• 将固定时间稳定性扩展至投影动力系统，以求解变分不等式问题，即使在强单调性被放宽至强伪单调性时仍保持有效。
• 将现有连续时间优化动力系统统一并推广为所提出的改进近端系统的特例。
• 证明所提出的方案的离散化版本可在固定步数内收敛至MVIP解的任意小邻域，且与初始化无关。

提出的方法

• 提出一种带有时变阻尼项的改进近端动力系统，旨在确保对MVIP解的固定时间收敛。
• 在强单调性和利普希茨连续性假设下，证明系统轨迹的存在性、唯一性及有限时间收敛性。
• 在标准变分不等式问题的特殊情形下，将改进近端系统简化为固定时间稳定的投影动力系统。
• 将稳定性结果扩展至强伪单调性情形，扩大方法在非强单调问题中的适用范围。
• 分析与凸优化的联系，表明广为人知的连续时间优化系统（如投影梯度流）均为所提框架的特例。
• 推导该方案的离散时间版本，并证明其可在固定步数内收敛至MVIP解的任意小邻域，且与初始条件无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种近端动力系统，使其在所有初始条件下均以固定时间收敛至混合变分不等式问题的解，且收敛时间有统一上界？
• RQ2 当强单调性被放宽至强伪单调性时，投影动力系统的固定时间稳定性是否依然保持？
• RQ3 现有连续时间优化动力系统与所提出的改进近端系统之间有何关联？
• RQ4 所提出的连续时间方案的离散化是否可在固定步数内实现收敛，且与初始条件无关？
• RQ5 在离散化条件下，系统在收敛时间与邻域精度方面的定量行为如何？

主要发现

• 在强单调性和利普希茨连续性条件下，所提出的改进近端动力系统可确保对MVIP唯一解的有限时间收敛，且所有初始条件下的收敛时间均受统一上界约束。
• 在标准变分不等式问题的特例下，该系统退化为固定时间稳定的投影动力系统，且在相同假设下仍保持固定时间收敛性。
• 即使强单调性被放宽至强伪单调性，固定时间稳定性依然保持，显著提升了方法在更广泛问题类别中的适用性。
• 所提方案的离散化版本可在固定步数内收敛至MVIP解的任意小邻域，且与初始条件无关。
• 数值示例验证了系统的固定时间收敛行为，为理论结论提供了实证支持。
• 常见研究的连续时间优化系统（如投影梯度流）被证明是所提改进近端动力系统的特例。