[论文解读] Flatness, preorders and general metric spaces

Vincent Schmitt|ArXiv.org|Sep 12, 2003

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文引入了范畴在一般基范畴上 enriched 的广义平坦性概念——${\cal P}$-平坦性，涵盖 $\bar{\mathbb{R}}_+$（度量空间）和 $\mathbf{Bool}$（预序）等情形。通过 ${\cal P}_1$- 和 ${\cal P}_2$-平坦性，该文刻画了度量空间的两种非对称完备化，分别对应弱平坦滤子与平坦滤子，并在预序情形下恢复了理想完备化，统一了度量与序结构下的范畴完备化理论。

ABSTRACT

This paper studies a general notion of flatness in the enriched context: P-flatness where the parameter P stands for a class of presheaves. One obtains a completion of a category A by considering the category Flat_P(A) of P-flat presheaves over A. This completion is related to the free cocompletion of A under a class of colimits defined by Kelly. For a category A, for P = P0 the class of all presheaves, Flat_P0(A) is the Cauchy-completion of A. Two classes P1 and P2 of general interest for general metric spaces are considered. The P1- and P2-flatness are investigated and the associated completions are characterized for general metric spaces (enrichemnts over R+) and preorders (enrichments over Bool). We get this way two non-symmetric completions for metric spaces and retrieve the ideal completion for preorders.

研究动机与目标

• 通过 enriched 范畴理论，建立度量空间与预序中完备化的统一范畴框架。
• 将平坦性概念从 Cauchy-完备化推广至任意预层类的 ${\cal P}$-平坦性。
• 通过基于前向柯西序列上的滤子定义，刻画非对称度量空间的两种新完备化，即 ${\cal P}_1$- 与 ${\cal P}_2$-平坦性。
• 证明在预序情形下，${\cal P}_1$-完备化产生非空下集，而 ${\cal P}_2$-完备化产生代数（理想）完备化。
• 确立这些完备化作为特定类别的余极限下的自由 cocompletion，推广 Kelly 的框架。

提出的方法

• 将 ${\cal P}$-平坦性定义为：沿 Yoneda 嵌入的左 Kan 扩张保持由预层类 ${\cal P}$ 索引的所有极限。
• 将 ${\cal P}$-完备化 $Flat_{\cal P}(A)$ 构造为 $[A^{op}, {\cal V}]$ 中 ${\cal P}$-平坦预层的全子范畴。
• 当 ${\cal V} = \bar{\mathbb{R}}_+$ 时，将 ${\cal P}_1$- 与 ${\cal P}_2$-平坦预层解释为度量空间上的弱平坦滤子与平坦滤子。
• 当 ${\cal V} = \mathbf{Bool}$ 时，证明 ${\cal P}_1$-平坦模对应非空下集，${\cal P}_2$-平坦模对应非空定向下集。
• 采用 Kelly 风格的索引极限与余极限，推导完备化的普遍性质。
• 证明 $Flat_{{\cal P}_1}(A)$ 与 $Flat_{{\cal P}_2}(A)$ 分别是基于非空与非空过滤余极限的自由 cocompletion。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 enriched 范畴理论统一描述度量空间与预序的完备化？
• RQ2 从平坦性角度看，预序的理想完备化具有何种范畴意义？
• RQ3 非对称度量空间的完备化如何由广义平坦性条件导出？
• RQ4 ${\cal P}_1$- 与 ${\cal P}_2$-平坦性与度量空间中前向柯西序列之间存在何种关系？
• RQ5 ${\cal P}_1$- 与 ${\cal P}_2$-完备化能否在不依赖范畴论的前提下，完全以度量或拓扑语言刻画？

主要发现

• ${\cal P}_1$-完备化在预序中对应于包含关系下的非空下集格，其普遍性质为保持非空集合的最小上确界。
• ${\cal P}_2$-完备化在预序中即为代数（理想）完备化，即非空定向下集的格，其普遍性质为保持非空定向集合的最小上确界。
• 在 $\bar{\mathbb{R}}_+$ 上 enriched 的度量空间中，${\cal P}_1$-平坦预层对应弱平坦滤子，${\cal P}_2$-平坦预层对应平坦滤子，二者均推广了柯西滤子。
• 对称度量空间的 ${\cal P}_2$-完备化与 Cauchy-完备化一致，但在非对称情形下与双完备化不同。
• 度量空间的 ${\cal P}_1$- 与 ${\cal P}_2$-完备化可表征为前向柯西序列的余极限，其对应的模分别为弱平坦滤子与平坦滤子。
• $Flat_{{\cal P}_1}(A)$ 的普遍性质保证：任意从 $A$ 到具有非空集合最小上确界之预序的保序映射，可唯一延拓至完备化。