[论文解读] Floer homology, symplectic and complex hyperbolicities

Anne-Laure Biolley|ArXiv.org|Apr 30, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文通过弗洛尔上同调与辛容量引入了辛双曲性的概念，借助伪全纯曲线将其与几乎复双曲性联系起来。证明了非辛双曲性蕴含伪全纯曲线的存在，从而导致非复双曲性，并建立了兼容几乎复结构形变下非复双曲性的稳定性。

ABSTRACT

On one side, from the properties of Floer cohomology, invariant associated to a symplectic manifold, we define and study a notion of symplectic hyperbolicity and a symplectic capacity measuring it. On the other side, the usual notions of complex hyperbolicity can be straightforwardly generalized to the case of almost-complex manifolds by using pseudo-holomorphic curves. That's why we study the links between these two notions of hyperbolicities when a manifold is provided with some compatible symplectic and almost-complex structures. We mainly explain how the non-symplectic hyperbolicity implies the existence of pseudo-holomorphic curves, and so the non-complex hyperbolicity. Thanks to this analysis, we could both better understand the Floer cohomology and get new results on almost-complex hyperbolicity. We notably prove results of stability for non-complex hyperbolicity under deformation of the almost-complex structure among the set of the almost-complex structures compatible with a fixed non-hyperbolic symplectic structure, thus generalizing Bangert theorem that gave this same result in the special case of the standard torus.

研究动机与目标

• 通过弗洛尔上同调和一种度量其大小的辛容量来定义并研究辛双曲性。
• 利用伪全纯曲线将复双曲性的概念推广到几乎复流形。
• 通过伪全纯曲线建立辛双曲性与几乎复双曲性之间的联系。
• 证明在兼容几乎复结构形变下非复双曲性的稳定性，推广了邦格特定理。
• 通过容量增长率将辛双曲性的概念推广到开放的ω-凸流形，特别是斯坦流形。

提出的方法

• 将紧致辛流形（具有接触型边界）的辛双曲性定义为从弗洛尔上同调到奇异上同调的自然映射的满射性。
• 引入一种度量辛双曲性的辛容量，当且仅当流形为辛双曲性时，该容量为无穷大。
• 利用伪全纯曲线作为辛双曲性与几乎复双曲性之间的桥梁，借助格罗莫夫的伪全纯曲线理论。
• 分析斯坦流形中的容量增长，并利用其定义辛双曲性的定性与定量概念。
• 应用容量增长与幂函数之间的比较估计（例如，$ \tau(f_a, \rho) \leq C a^\alpha $）以推导伪全纯曲线的存在性。
• 利用斯托克斯定理与曲率界（Hessian或径向曲率）控制面积增长，并通过面积与距离之比来建立非双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过弗洛尔上同调与容量定义的辛双曲性，如何与几乎复双曲性相关联？
• RQ2 在非辛双曲性流形中，什么条件能保证伪全纯曲线的存在？
• RQ3 在兼容几乎复结构形变下，非复双曲性能否保持不变？
• RQ4 斯坦流形中辛容量的增长率如何与辛双曲性相关？
• RQ5 径向曲率或Hessian有界性对伪全纯曲线的存在性与面积增长有何影响？

主要发现

• 非辛双曲性蕴含边界上存在一个Reeb轨道，满足Weinstein猜想。
• 若辛容量至多线性增长（$ \mu(M_a) \leq C a $），则存在一列$ J $-全纯曲线$ f_a: \mathbb{D} \to M_a $，其面积有界于$ \mu(M_{a+1}) $，且满足$ f_a(\partial\mathbb{D}) \subset \{ \psi = C a \} $。
• 在Hessian或径向曲率有界条件下，$ f_a $的面积满足$ \text{area}(f_a, g_0) = o(\tau(f_a, \omega_0)) $，这意味着在几乎凯勒意义下为非双曲性。
• 对于乘积流形$ M \times N $，若$ m_M = 2 $且$ m_N \geq 2 $，则$ 2 $是$ M \times N $的等周值，且径向曲率满足$ \text{curv}_{M\times N} \leq \max(\text{curv}_M, \text{curv}_N) $。
• 若$ \mu(M_a) \leq C a $且$ |dd^c_J \phi|_0 \leq A $，则$ \tau(f_a, \omega_0) \geq C' a $，从而有$ \text{area}(f_a, g_0) = o(\tau(f_a, \omega_0)) $，确认了非双曲性。
• 在$ M_a = B_M(a) \times B_N(a) $上构造$ J_a $-全纯映射，其面积$ \leq C a^2 $，且像包含于$ \partial M_{c_0 a} $，由此导出$ M \times N $上的一列$ J $-全纯映射，证明了在乘积情形下非双曲性的稳定性。