[论文解读] Fluctuations of Omega-killed spectrally negative Lévy processes

Bo Li, Zbigniew Palmowski|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Probability and Risk Models参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文引入广义尺度函数，称为 ω-尺度函数，以解决带状态依赖指数消亡强度 ω(x) 的谱负 Lévy 过程的首 hitting 问题。通过利用马氏性、泊松过程性质及波动理论，作者推导出占用时间与再生核的闭式表达式，将经典结果推广至 ω-消亡过程，并在风险理论与自相似过程中实现应用。

ABSTRACT

In this paper we solve the exit problems for (reflected) spectrally negative Lévy processes, which are exponentially killed with a killing intensity dependent on the present state of the process and analyze respective resolvents. All identities are given in terms of new generalizations of scale functions. For the particular cases $ω(x)=q$ and $ω(x)=q \mathbf{1}_{(a,b)}(x)$, we obtain results for the classical exit problems and the Laplace transforms of the occupation times in a given interval, until first passage times, respectively. Our results can also be applied to find the bankruptcy probability in the so-called Omega model, where bankruptcy occurs at rate $ω(x)$ when the Lévy surplus process is at level $x<0$. Finally, we apply the these results to obtain some exit identities for a spectrally positive self-similar Markov processes. The main method throughout all the proofs relies on the classical fluctuation identities for Lévy processes, the Markov property and some basic properties of a Poisson process.

研究动机与目标

• 将经典波动恒等式推广至谱负 Lévy 过程在状态依赖消亡强度 ω(x) 下的情形。
• 提出一类新的尺度函数——ω-尺度函数，用于表征占用时间与首 hitting 分布的拉普拉斯变换。
• 在 ω-消亡条件下，提供再生核与首 hitting 恒等式的显式公式，扩展风险理论与首通过问题中的结果。
• 将该框架应用于 Omega 模型，其中当盈余为负时破产以速率 ω(x) 发生，并应用于自相似马氏过程。
• 基于泊松过程与马氏性建立一种新颖的解析方法，为威纳-霍普夫方法与 excursion 理论提供替代方案。

提出的方法

• 将 ω-尺度函数 W^(ω)(x) 与 Z^(ω)(x) 定义为涉及经典尺度函数 W(x) 与消亡强度 ω(x) 的伏尔泰拉积分方程的唯一解。
• 利用马氏性与非时齐泊松过程的性质，推导出加权于 ω(X_t) 的占用时间的拉普拉斯变换。
• 通过求解涉及 ω-尺度函数的积分方程，推导出吸收型与反射型谱负 Lévy 过程的首 hitting 恒等式。
• 通过求解积分方程并利用边界条件确定归一化常数，建立 ω-消亡过程的再生核恒等式。
• 在 Omega 模型中应用该理论，设定 ω(x) = q（当 x < 0 时），得到破产概率的显式表达式。
• 通过时间变换技术与 ω-尺度函数框架，将结果推广至自相似过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典首 hitting 问题推广至谱负 Lévy 过程在状态依赖消亡强度 ω(x) 下的情形？
• RQ2 在 ω-消亡条件下，首次通过前在区间内的占用时间的显式拉普拉斯变换为何？
• RQ3 在状态依赖消亡存在下，ω-尺度函数 W^(ω)(x) 与 Z^(ω)(x) 如何推广经典尺度函数？
• RQ4 ω-消亡谱负 Lévy 过程的再生核算子具有何种结构？
• RQ5 该框架能否用于推导状态依赖破产强度下的 Omega 模型中的破产概率？

主要发现

• ω-尺度函数 W^(ω)(x) 与 Z^(ω)(x) 定义为涉及经典尺度函数 W(x) 与消亡强度 ω(x) 的伏尔泰拉积分方程的唯一解。
• 当 ω(x) = q 为常数时，ω-尺度函数退化为经典尺度函数 W^(q)(x) 与 Z^(q)(x)，恢复已知的双边首 hitting 恒等式。
• 当 ω(x) = q·1_(a,b)(x) 时，ω-尺度函数通过涉及 W^(p)(x) 的积分项对经典尺度函数进行修正。
• 在首次通过 c 之前于 [0,c] 区间内的占用时间的拉普拉斯变换为：E_x[exp(−∫₀^{τ_c^+} ω(X_t)dt); τ_c^+ < τ_0^−] = Z^(ω)(x)/Z^(ω)(c) × W^(ω)(c) − W^(ω)(x)，并给出显式积分表示。
• ω-消亡过程的再生核 L^(ω) 由 L^(ω)f(x) = ∫₀^c f(y) [Z^(ω)(x)/Z^(ω)(c) × W^(ω)(c,y) − W^(ω)(x,y)] dy 表征，其中 W^(ω)(x,y) 通过 ω-尺度函数定义。
• 该框架可导出 Omega 模型中破产概率的显式表达式，其中当 X_t < 0 时以速率 ω(x) 发生破产，通过设定 ω(x) = q（当 x < 0 时）并求解相应的首 hitting 问题。