[论文解读] Fluid Dynamics on Noncommutative Space

Kai Ma|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在非对易空间上进行流体动力学的新型框架，通过将规范拉格朗日变量映射到欧拉变量，确保在无限粒子极限下与有限粒子系统保持一致。推导出非对易泊松括号，表明非对易修正依赖于势函数的导数，并修改了弗里德曼方程，对于球对称质量分布，由于旋转对称性，修正项消失。

ABSTRACT

We propose a new approach for studying the fluid dynamics on noncommutative space. Starting with the Poisson bracket for single particle, a map from canonical Lagrangian variables to Eulerian variables is constructed, and the map has been chosen such that, in the infinite limit, the Eulerian variables are consistent with the ones of a system with finite number of particles. This approach makes sure that both the kinematical and potential energies are taken into account correctly, and the equations of motion of the mass density and current density are naturally expressed into conservative form. Based on this, the noncommutative Poisson bracket is introduced, and the noncommutative algebra among Eulerian variables, as well as the noncommutative corrections on the equations of motion are obtained. We find that the noncommutative corrections are generally depend on the derivatives of potential under consideration. Furthermore, we find that the noncommutative algebra does modify the usual Friedmann equation, and the noncommutative corrections measure the symmetry properties of the density function $ ho(\vec{z})$ under rotation around the direction $\vec{ heta}$. This characterization results in vanishing corrections for spherically symmetric mass density distribution and potential.

研究动机与目标

• 开发一种在非对易空间上一致的流体动力学表述，同时尊重运动学和势能贡献。
• 确保从拉格朗日变量导出的欧拉变量在无限粒子极限下收敛到标准流体变量。
• 推导非对易泊松括号及其在欧拉变量之间的代数结构。
• 研究非对易性如何修改经典流体方程，特别是弗里德曼方程。
• 确定非对易修正对质量密度函数对称性质的依赖关系。

提出的方法

• 构建从规范拉格朗日变量到欧拉变量的映射，确保在无限粒子极限下与有限粒子系统保持一致。
• 基于所导出的映射定义非对易泊松括号，保持流体动力学的结构。
• 使用非对易括号以保守形式表达质量密度和电流密度的运动方程。
• 推导欧拉变量之间的非对易代数，包括对标准流体动力学的修正。
• 分析非对易性对弗里德曼方程的影响，将修正项与密度函数的旋转对称性联系起来。
• 证明非对易修正依赖于所考虑势函数的空间导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持运动学和势能贡献的前提下，一致地表述非对易空间上的流体动力学？
• RQ2 在此框架中，欧拉变量的非对易泊松括号具有何种结构？
• RQ3 非对易修正如何影响质量密度和电流密度的运动方程？
• RQ4 非对易代数以何种方式修改弗里德曼方程，这些修正的大小由什么决定？
• RQ5 为何球对称质量密度分布会导致非对易修正消失？

主要发现

• 非对易流体动力学的修正项显式依赖于势函数的导数。
• 欧拉变量之间的非对易代数导致弗里德曼方程发生修改。
• 非对易修正的大小由密度函数 ρ(𝑧) 绕向量 θ 的旋转对称性决定。
• 对于球对称质量密度分布，由于旋转不变性，非对易修正项消失。
• 从拉格朗日变量到欧拉变量的映射确保了在无限极限下与有限粒子系统的兼容性。
• 在所提出的框架中，质量密度和电流密度的运动方程自然地以保守形式表达。