[论文解读] Flux-limited and classical viscosity solutions for regional control problems

Guy Barles, Ariela Briani+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Magnetism in coordination complexes参考文献 13被引用 13

一句话总结

本文在双半空间区域中，建立了经典粘性解与通量受限解之间的严格联系。通过从通量受限解的视角重新诠释经典Ishii框架，作者们以更简洁的方式证明了关键结果，包括有界通量受限解的比较原理，以及最大/最小Ishii解与通量受限解的识别，从而统一了哈密顿-雅可比理论中针对不连续动力系统的两种不同方法。

ABSTRACT

The aim of this paper is to compare two different approaches for regional control problems: the first one is the classical approach, using a standard notion of viscosity solutions, which is developed in a series of works by the three first authors. The second one is more recent and relies on ideas introduced by Monneau and the fourth author for problems set on networks in another series of works, in particular the notion of flux-limited solutions. After describing and even revisiting these two very different points of view in the simplest possible framework, we show how the results of the classical approach can be interpreted in terms of flux-limited solutions. In particular, we give much simpler proofs of three results: the comparison principle in the class of bounded flux-limited solutions of stationary multidimensional Hamilton-Jacobi equations and the identification of the maximal and minimal Ishii's solutions with flux-limited solutions which were already proved by Monneau and the fourth author, and the identification of the corresponding vanishing viscosity limit, already obtained by Vinh Duc Nguyen and the fourth author.

研究动机与目标

• 比较并统一两种处理区域控制问题的方法：经典粘性解与通量受限解。
• 通过通量受限解的概念，重新诠释针对不连续哈密顿-雅可比方程的古典Ishii框架。
• 借助通量受限理论，简化已有关键结果的证明，如比较原理以及最大/最小解的识别。
• 在稳态情况下，建立消失粘性极限与通量受限解之间的等价性。

提出的方法

• 作者分析了 $\mathbb{R}^N$ 中的双半空间区域，其中 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 分别具有不同的哈密顿函数 $H_1$ 和 $H_2$，由界面 $\mathcal{H} = \{x_N = 0\}$ 分隔。
• 他们定义了正则化哈密顿函数 $\tilde{H}^{\rm reg}(x,p) = \max(H_1^-(x,p), H_2^+(x,p))$，通过凸分析捕捉通量受限结构。
• 利用方程 $f_1(s) = f_2(s)$ 的最小解 $s_*$，其中 $f_1(s) = H_1^-(x,p'+se_N)$ 且 $f_2(s) = H_2^+(x,p'+se_N)$，他们对函数 $\phi(\lambda) = \tilde{H}^{\rm reg}(x,p'+\lambda e_N)$ 的三种不同构型进行分类。
• 他们推导出有效哈密顿函数 $H_T(x,p') = \min_s \tilde{H}(x,p'+se_N)$ 与 ${H}^{\rm reg}_T(x,p') = \min_s \tilde{H}^{\rm reg}(x,p'+se_N)$，并证明 $H_T \geq {H}^{\rm reg}_T$。
• 分析表明，在情形3中 $H_T = {H}^{\rm reg}_T$，而在情形1和2中 $H_T > {H}^{\rm reg}_T$，且后者等于 $\max(\underline{H}_1, \underline{H}_2)$。
• 他们利用这些构型，将在通量受限框架下重新诠释经典结果，如比较原理以及最大/最小Ishii解的识别。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过通量受限解框架重新诠释区域控制问题中的经典粘性解？
• RQ2 在不连续哈密顿-雅可比方程的背景下，最大与最小Ishii解与通量受限解之间的确切关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，消失粘性极限与通量受限解一致？
• RQ4 能否通过这种重新诠释更简洁地推导出有界通量受限解的比较原理？
• RQ5 界面动力学的不同构型（情形1、2、3）如何影响有效哈密顿函数与解的结构？

主要发现

• 通过 $\tilde{H}^{\rm reg}$ 的结构以及界面动力学的分类，以更简洁的论证确立了有界通量受限解的比较原理。
• 最大与最小Ishii解被识别为通量受限解，以更清晰的框架确认了Monneau与Imbert的早期结果。
• 区域哈密顿-雅可比方程解的消失粘性极限与通量受限解一致，如Nguyen与Imbert先前所展示的，现通过通量受限方法重新推导。
• 在情形3中，当 $s_* > m_1$ 且 $s_* \leq m_2$ 时，有效哈密顿函数满足 $H_T = {H}^{\rm reg}_T$，表明通量受限方法与经典方法一致。
• 在情形1与2中，$H_T > {H}^{\rm reg}_T = \max(\underline{H}_1, \underline{H}_2)$，表明通量受限方法在多个Ishii解中唯一地选择了解。
• 通过分别对 $\tilde{H}$ 与 $\tilde{H}^{\rm reg}$ 在 $\lambda$ 上取最小值，实现对 $H_T$ 与 ${H}^{\rm reg}_T$ 的识别，提供了一种构造性方法以计算界面处的有效动力学。