[论文解读] Foliated groupoids and their infinitesimal data

Madeleine Jotz, Cristián Ortiz|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 14

一句话总结

本文通过在李代数丛的余丛上使用平坦的部分联络，建立了源单连通李群胚上的乘法叶状结构与它们的李代数丛上的IM-叶状结构之间的一一对应关系。乘法叶状结构的无穷小数据由余代数丛上的平坦联络编码，推广了经典群胚与代数丛结构之间的对应关系。

ABSTRACT

In this work, we study Lie groupoids equipped with multiplicative foliations and the corresponding infinitesimal data. We determine the infinitesimal counterpart of a multiplicative foliation in terms of its core and sides together with a partial connection satisfying special properties, giving rise to the concept of IM-foliation on a Lie algebroid. The main result of this paper shows that if $G$ is a source simply connected Lie groupoid with Lie algebroid $A$, then there exists a one-to-one correspondence between multiplicative foliations on $G$ and IM-foliations on the Lie algebroid $A$.

研究动机与目标

• 通过其无穷小数据表征李群胚上的乘法叶状结构。
• 将乘法叶状结构的李代数丛对应物识别为李代数丛上的IM-叶状结构。
• 在源单连通李群胚上的乘法叶状结构与它们的李代数丛上的IM-叶状结构之间建立一一对应关系。
• 证明乘法叶状结构的对合性由余代数丛上的平坦部分联络编码。
• 利用联络数据显式重构乘法叶状结构的李代数丛的无穷小结构。

提出的方法

• 使用切丛函子将群胚结构提升到切群胚，将乘法叶状结构的李代数丛识别为切代数丛 $TA$ 的子代数丛。
• 定义乘法叶状结构 $F_G \subseteq TG$ 的余丛 $F_c \subseteq A$ 和单位丛 $F_M \subseteq TM$，并证明二者均为对合子丛。
• 通过叶状群胚的Bott联络构造余代数丛 $A/F_c$ 上的平坦部分 $F_M$-联络 $\nabla$。
• 证明 $F_G$ 的李代数丛同构于 $TA$ 在 $F_M$ 上的限制，其截面由 $\nabla$-相容截面决定。
• 证明 $F_G$ 的对合性等价于 $\nabla$ 的平坦性以及联络与余丛之间的相容性条件。
• 利用线性向量场对子丛的流不变性，验证联络在无穷小层面保持叶状结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 李群胚上乘法叶状结构的无穷小对应物是什么？
• RQ2 如何从余丛和联络数据重构乘法叶状结构的李代数丛？
• RQ3 在什么条件下，李群胚的乘法子丛 $F_G \subseteq TG$ 是对合的？
• RQ4 部分联络的平坦性在表征乘法叶状结构中起什么作用？
• RQ5 是否存在源单连通李群胚上的乘法叶状结构与它的李代数丛上的IM-叶状结构之间的一一对应关系？

主要发现

• 在源单连通李群胚 $G$ 上的乘法叶状结构与它的李代数丛 $A$ 上的IM-叶状结构之间存在一一对应关系。
• 乘法叶状结构的无穷小数据由余代数丛 $A/F_c$ 上的平坦部分联络 $\nabla$ 编码，其中 $F_c$ 是叶状结构的余丛。
• $F_G$ 的李代数丛同构于 $TA$ 在 $F_M$ 上的限制，其截面由 $\nabla$-相容提升决定。
• $F_G$ 的对合性等价于余代数丛 $A/F_c$ 上诱导的部分联络 $\nabla$ 的平坦性。
• $F_c \subseteq A$ 是一个李子代数丛，$F_M \subseteq TM$ 构成一个对合子丛，二者均为乘法叶状结构所必需。
• 该构造将经典关于李群上乘法分布的结果推广到更广泛的李群胚框架，通过李代数丛对应关系实现。