[论文解读] Formes d'inertie et complexe de Koszul associés à des polynômes plurihomogènes

Azzouz Awane, Abdelouahab Chkiriba+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2002

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究了多重齐次多项式相关的惯性形式与柯尔祖复形，推广了经典的结果式与上同调理论。它建立了赫尔维茨定理的多重齐次类比，并利用柯尔祖–切赫双复形的局部上同调与谱序列，恢复了N.H. Mcoy定理的一个特例。

ABSTRACT

The eThe existence of common zero of a family of polynomials has led to study of inertial forms whose homogeneous part of degree 0 constitutes the ideal resultant. The Koszul anc Cech cohomology groups play a fundamental role in this study. An analogueous of Hurwitz theorem is given and also we finds a MCoy theorem in a particular case of this study.

研究动机与目标

• 将经典的结果式与惯性形式理论推广至多重齐次多项式的情形。
• 研究柯尔祖复形的结构及其在多重分次设定下与Čech上同调的相互作用。
• 通过递归多项式分解刻画零阶局部上同调模 $ H_{\frak{M}}^0(B) $ 并确定其生成元。
• 建立赫尔维茨定理在惯性形式上的多重齐次类比。
• 恢复关于在多个变量集上齐次的多项式结果式的N.H. Mcoy定理的一个特例。

提出的方法

• 定义多重齐次多项式环 $ C = A[Δ_1, \dots, \u0394_s] $，其中 $ A $ 为通用系数的系数环。
• 从多重齐次多项式 $ f_1, \dots, f_r $ 构造柯尔祖复形 $ K^\bullet $，并从单项式 $ \sigma_{i_1 \dots i_s} = X_{1,i_1} \cdots X_{s,i_s} $ 构造Čech复形 $ \mathcal{C}^\bullet $。
• 构造双复形 $ K^\bullet \otimes_A \mathcal{C}^\bullet $，并分析其谱序列 $ {}'E $ 与 $ {}''E $，以建立柯尔祖上同调与局部上同调之间的联系。
• 通过每个变量集上对多项式 $ f_i $ 的递归分解，定义 $ f_{i,l}^{(j)} $，从而得到阶为 $ N = \sum_{j=1}^s n_j + s $ 的行列式 $ \mathcal{D} $。
• 证明行列式 $ \mathcal{D} $ 是关于第 $ j $ 个变量集的多重齐次惯性形式，次数为 $ \delta_j - N_j $，且 $ X_{1,n_1+1}^{N_1} \cdots X_{s,n_s+1}^{N_s} \mathcal{D} $ 生成 $ (H_{\frak{M}}^0(B))_\delta $。
• 应用谱序列技术证明当 $ r = N $ 时，$ H_{\frak{M}}^0(B)_\delta $ 为秩为1的 $ A $-自由模。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典惯性形式与结果式理论如何推广至多重齐次多项式？
• RQ2 柯尔祖复形与Čech复形在描述商环 $ B = C / (f_1, \dots, f_r) $ 的上同调中起什么作用？
• RQ3 能否为惯性形式建立赫尔维茨定理的多重齐次类比？
• RQ4 在何种条件下，局部上同调模 $ H_{\frak{M}}^0(B)_\delta $ 成为秩为1的 $ A $-自由模？
• RQ5 多重齐次多项式的递归分解如何导出上层局部上同调模的生成元？

主要发现

• 递归分解所得的行列式 $ \mathcal{D} $ 是关于第 $ j $ 个变量集的多重齐次惯性形式，次数为 $ \delta_j - N_j $。
• 模 $ (f_1, \dots, f_r) $ 的类 $ \Delta = X_{1,n_1+1}^{N_1} \cdots X_{s,n_s+1}^{N_s} \mathcal{D} $ 生成 $ H_{\frak{M}}^0(B) $ 的 $ \delta $-分次部分，当 $ r = N $ 时，该部分为秩为1的 $ A $-自由模。
• 双复形 $ K^\bullet \otimes_A \mathcal{C}^\bullet $ 关联的谱序列实现了柯尔祖上同调与局部上同调之间的同构。
• 建立了赫尔维茨定理的多重齐次版本，将惯性形式的结构与多项式环的多重分次结构联系起来。
• 当 $ r = N $ 时，该构造恢复了N.H. Mcoy关于在多个变量集上齐次的多项式结果式的定理的一个特例。
• 在条件 $ r = N $ 下，证明了零阶局部上同调模 $ H_{\frak{M}}^0(B)_\delta $ 同构于 $ A $，其生成元为 $ \Delta $。