[论文解读] Formulas for p-adic q-integrals including falling-rising factorials, combinatorial sums and special numbers

Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，通过将p进制q积分应用于下降阶乘和上升阶乘以及二项式系数，推导出涉及p进制q积分（特别是Volkenborn积分和p进制费米子积分）的公式。该方法生成了组合和与特殊数（如伯努利数、欧拉数、Daehee数、Changhee数）的新旧恒等式、生成函数及闭式表达式，显著提升了这些积分及其相关序列的数值计算效率。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to provide a novel approach to deriving formulas for the p-adic q-integral including the Volkenborn integral and the p-adic fermionic integral. By applying integral equations and these integral formulas to the falling factorials, the rising factorials and binomial coefficients, we derive some new and old identities and relations related to various combinatorial sums, well-known special numbers such as the Bernoulli and Euler numbers, the harmonic numbers, the Stirling numbers, the Lah numbers, the Harmonic numbers, the Fubini numbers, the Daehee numbers and the Changhee numbers. Applying these identities and formulas, we give some new combinatorial sums. Finally, by using integral equations, we derive generating functions for new families of special numbers and polynomials. We also give further comments and remarks on these functions, numbers and integral formulas.

研究动机与目标

• 开发一种统一的方法，用于推导涉及p进制q积分（包括Volkenborn积分和p进制费米子积分）的公式。
• 建立p进制积分与组合和、下降阶乘、上升阶乘以及特殊数之间新旧恒等式的关系。
• 通过积分方程及其关联的生成函数，生成特殊数和多项式的全新族。
• 通过推导出的闭式表达式，提升涉及阶乘多项式的p进制积分的数值计算效率。

提出的方法

• 使用定义为 $ I_q(f(x)) = \int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_q(x) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{[p^N]_q} \sum_{x=0}^{p^N-1} f(x) q^x $ 的p进制q积分，其中 $ q \in \mathbb{C}_p $，$ |1-q|_p < 1 $。
• 将积分方程应用于下降阶乘 $ x_{(n)} $、上升阶乘 $ x^{(n)} $ 和二项式系数，以推导恒等式。
• 将Volkenborn积分（$ q \to 1 $）和p进制费米子积分（$ q \to -1 $）作为极限情况，以恢复经典结果。
• 通过基于积分的生成函数构造方法，推导特殊数（如伯努利数、欧拉数、Daehee数、Changhee数）的生成函数。
• 结合积分求值与涉及斯特林数 $ S_1(n,k) $、$ S_2(n,k) $ 和Lah数的已知恒等式，生成新的组合和。
• 利用黎曼积分和积分恒等式，验证并推导涉及伯努利数和柯西数的和的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将p进制q积分应用于下降阶乘和上升阶乘，以推导新恒等式？
• RQ2 当p进制积分应用于二项式系数和阶乘多项式时，会涌现出哪些新的组合和与关系？
• RQ3 Volkenborn积分和p进制费米子积分如何统一或推广已知的伯努利数和欧拉数等特殊数的结果？
• RQ4 可以从涉及这些特殊数和多项式的积分方程中构造出哪些生成函数？
• RQ5 能否通过p进制积分技术与斯特林数，推导出涉及伯努利数的和的闭式表达式？

主要发现

• 通过Volkenborn积分对下降阶乘恒等式进行处理，推导出恒等式 $ \sum_{k=0}^{n} n_{(n-k)} \frac{k!}{k^2 + 3k + 2} = \frac{(n-1)!}{n+1} $。
• 通过Volkenborn积分和一个生成恒等式，证明了公式 $ \sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{[\frac{n-j}{2}]} \binom{n}{j} S_{12}(n-j,k) B_{k+j} = (-1)^n \frac{n!}{n+1} $。
• 通过将Volkenborn积分应用于涉及第一类斯特林数的二项式系数恒等式，确立了恒等式 $ \sum_{j=0}^{n} S_1(n,k) B_k = \frac{(-1)^n n!}{n+1} $。
• 通过将Volkenborn积分应用于以下降阶乘表示的单项式展开的变形形式，推导出公式 $ B_n = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \frac{k!}{k+1} S_2(n,k) $。
• 通过应用第二类斯特林数，获得了关系式 $ B_n = \sum_{k=0}^{n-1} D_k S_2(n,k) $，将伯努利数与Daehee数直接关联起来。
• 通过黎曼积分和p进制积分技术，推导出关于第一类柯西数的新表达式 $ \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{k+1} S_1(n,k) = b_n(0) $。