[论文解读] Forward Arc Maximization for Hamilton Oriented Cycles and Paths in Generalizations of Tournaments
论文研究在通用 tournaments 的推广中，最大化 Hamiltonian 有向环/路中的前向弧，给出对半完全多部图和局部半完全有向图的多项式时间算法，基于成本因素和多数不等式的表征。
Gishboliner, Krivelevich, and Michaeli (2023) conjectured the following generalization of Dirac's theorem: If the minimum degree $δ$ of an $n$-vertex oriented graph $G$ is greater or equal to $n/2$, then $G$ has a Hamilton oriented cycle with at least $δ$ forward arcs. Freschi and Lo (2024) proved this conjecture. In this paper, we study the problem of maximizing the number of forward arcs in Hamilton oriented cycles/paths in generalizations of tournaments. We obtain characterizations for the maximum number of forward arcs in semicomplete multipartite digraphs and locally semicomplete digraphs. These characterizations lead to polynomial-time algorithms. Note that the above problems are NP-hard for some other generalizations of tournaments even though the Hamilton cycle problem is polynomial-time solvable for these digraph classes.
研究动机与目标
- 将 Dirac 型结果推广到最大化 Hamiltonian 有向环和路径中的前向弧。
- 表征半完全多部图中最大前向弧差异。
- 为目标有向图类别提供求解最优 Hamiltonian 结构的多项式时间算法。
提出的方法
- 通过部集大小上的 HC-多数性和 HP-多数性不等式表征 Hamiltonian 的存在性。
- 使用对称 (0,1)-有向图将前向弧最大化转化为成本优化问题。
- 在对称有向图中计算最大成本的 1-路径-环因子以获得最优 Hamiltonian 路径。
- 计算最大成本的环因子以获得最优 Hamiltonian 环，并给出多项式时间构造。
- 利用关于半完全多部图与局部半完全有向图的环因子和 Hamiltonicity 的现有结果来推导算法。
实验结果
研究问题
- RQ1在 HP/HC多数条件下，半完全多部有向图的 Hamiltonian 有向路径或环中，前向弧的最大可能数量是多少？
- RQ2是否可以在对称有向图中基于成本的循环/路径因子以多项式时间表征并计算此最大值？
- RQ3局部半完全有向图的结构如何影响 Hamiltonian 有向环的最大前向弧计数？
- RQ4在这些有向图类别中寻找具有最大前向弧的 Hamiltonian 结构的算法性含义是什么？
主要发现
- 对于满足 HP-多数不等式的半完全多部有向图，Hamilton 有向路径中的最大前向弧等于对称有向图中 1-路径-环因子的最大成本。
- 对于此类有向图，Hamilton 有向环中的最大前向弧等于对称有向图中环因子的最大成本；若最大值为 n 且图非 Hamiltonian，则存在一个特殊情形。
- 两类最大值及对应的 Hamiltonian 结构均可在多项式时间内计算。
- 存在一个多项式时间算法，可以将最大成本的 1-路径-环因子转换为在这些设置下的具有最大前向弧的 Hamiltonian 路径。
- 若有向图是强连通的，则 Hamilton 有向环的最大前向弧为 n；若不是强连通且底层图是 2 连通的，则为 n 减去首末强分量之间的距离。
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