[论文解读] Forward-Backward Stochastic Differential Systems Associated to Navier-Stokes Equations in the Whole Space

Freddy Delbaen, Jinniao Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文为整个空间中的不可压缩纳维-斯托克斯方程构建了一个前向-后向随机微分系统（FBSDE），在雷诺数较小或二维流动等条件下，建立了局部解与全局解的存在性与唯一性。该研究通过FBSDE提供了纳维-斯托克斯方程解的概率公式，将其与拉格朗日表示法及变分原理相联系。

ABSTRACT

A coupled forward-backward stochastic differential system (FBSDS) is formulated in spaces of fields for the incompressible Navier-Stokes equation in the whole space. It is shown to have a unique local solution, and further if either the Reynolds number is small or the dimension of the forward stochastic differential equation is equal to two, it can be shown to have a unique global solution. These results are shown with probabilistic arguments to imply the known existence and uniqueness results for the Navier-Stokes equation, and thus provide probabilistic formulas to the latter. Related results and the maximum principle are also addressed for partial differential equations (PDEs) of Burgers' type. Moreover, from truncating the time interval of the above FBSDS, approximate solution is derived for the Navier-Stokes equation by a new class of FBSDSs and their associated PDEs; our probabilistic formula is also bridged to the probabilistic Lagrangian representations for the velocity field, given by Constantin and Iyer (Commun. Pure Appl. Math. 61: 330--345, 2008) and Zhang (Probab. Theory Relat. Fields 148: 305--332, 2010) ; finally, the solution of the Navier-Stokes equation is shown to be a critical point of controlled forward-backward stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 通过耦合的前向-后向随机微分系统（FBSDE）在全空间中建立不可压缩纳维-斯托克斯方程的概率表示。
• 在雷诺数较小或维度d=2等条件下，证明FBSDE的局部解与全局解的存在性与唯一性。
• 通过概率论证，将FBSDE解与已知的纳维-斯托克斯方程解的存在性与唯一性结果相联系。
• 在FBSDE公式与科斯坦丁和艾尔（Constantin and Iyer）以及张（Zhang）提出的速度场概率拉格朗日表示之间建立联系。
• 证明纳维-斯托克斯方程的解是受控前向-后向随机微分系统的一个临界点。

提出的方法

• 在随机场空间中为后向纳维-斯托克斯方程构建耦合的FBSDE，其中前向SDE描述粒子轨迹，后向SDE描述速度场与梯度场。
• 应用概率论证，包括Girsanov定理与Bismut-Elworthy-Li公式，推导速度场与压力场的表示式。
• 在Sobolev空间（H^m）中使用先验估计，并对时间区间采用截断技术，以构造近似解。
• 利用Itô公式与BDG不等式，在L^2范数与Sobolev范数下控制逼近序列的收敛性。
• 依赖Feynman-Kac公式与随机表示定理，将FBSDE解与PDE解相联系。
• 通过逆流映射与逐场随机过程，建立FBSDE与纳维-斯托克斯方程之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个前向-后向随机微分系统，以表示全空间中的不可压缩纳维-斯托克斯方程？
• RQ2 在何种条件下，该FBSDE能存在唯一的全局解？
• RQ3 该FBSDE公式与现有纳维-斯托克斯方程的概率表示（如科斯坦丁与艾尔或张的研究）之间有何关系？
• RQ4 纳维-斯托克斯方程的解能否被表征为受控FBSDE系统的临界点？
• RQ5 FBSDE解与速度场的拉格朗日表示之间存在何种联系？

主要发现

• 在全空间中，FBSDE对纳维-斯托克斯方程存在唯一的局部解。
• 在雷诺数较小或二维情形（d=2）下，FBSDE存在唯一的全局解。
• FBSDE的解为纳维-斯托克斯方程的速度场提供了概率公式，恢复了已知的存在性与唯一性结果。
• FBSDE公式被证明与科斯坦丁和艾尔（2008）及张（2010）提出的概率拉格朗日表示等价。
• 纳维-斯托克斯方程的解被表征为受控前向-后向随机微分系统的一个临界点。
• 在Sobolev范数下建立了逼近FBSDE的收敛性，其极限满足原始FBSDE，因而也满足纳维-斯托克斯方程。