[论文解读] Foundations for conditional probability

Ladislav Mečíř|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 8

一句话总结

本文通过从随机量上的合理序关系推导条件概率，重新定义了概率的基础，表明所有一致的概率规则——包括贝叶斯法则——均可自然导出。关键贡献在于证明：任何一致的概率函数均可扩展为一个合理完备的函数，从而避免在 P(C) = 0 时失效的基于比值的定义。

ABSTRACT

The main result presented in this article is that probability can fundamentally be characterized as a subset of conditional expectation induced by a plausible preorder on random quantities. This is justified by the fact that probability is coherent as confirmed by its common formalizations, and by our result that a function is coherent if and only if it is a subset of conditional expectation induced by a plausible preorder on random quantities. In addition to offering a different perspective on conditional probability, our use of a plausible preorder in the role of a fundamental notion extends conditional probability to cases in which the calculation of conditional probability using the P(A|C)=\frac{P(A\wedge C)}{P(C)} rule fails: if P is a coherent function, then it can be extended so that for every event A and nonzero event C holds that P(A|C)=0 if A\wedge C=0 and P(A|C)=1 if A\wedge C=C, no matter whether the unconditional probability P(C) is zero or whether it is defined.

研究动机与目标

• 解决条件概率的基础性局限，特别是当 P(C) = 0 或未定义时，P(A|C) = P(A∧C)/P(C) 比值定义的失效问题。
• 提供一种更一般且逻辑上严谨的概率基础，避免对条件期望的临时假设。
• 将概率形式化为由随机量上的合理序关系自然诱导的函数，确保一致性和完备性。
• 证明所有标准概率形式化（柯尔莫哥洛夫、考克斯、杜普雷-蒂普勒）均一致，并可嵌入此框架。
• 确立一致性等价于可扩展为由正规合理序关系诱导的合理完备函数。

提出的方法

• 将随机量定义为实数上的单位元、结合律、交换律代数，并通过标准嵌入将实数嵌入该代数。
• 将随机量上的合理序关系作为原始关系引入，由此导出条件序关系。
• 将事件定义为幂等元（A.A = A），并利用自然序（A ≤ B 当且仅当 A ∧ B = A）来组织逻辑关系。
• 利用序结构，将条件期望形式化为从对 (X, C) 到扩展实数的偏函数，其中 C 为非零事件。
• 形式化三种概率形式化：柯尔莫哥洛夫型、考克斯型和杜普雷-蒂普勒型可置信值，每种均满足一致性和概率规则。
• 证明一致性等价于可扩展为由正规合理序关系诱导的条件期望，从而确立合理完备函数为标准形式化。

实验结果

研究问题

• RQ1 条件概率能否从比无条件概率比值更基本的关系中导出？
• RQ2 概率能否以一种在 P(C) = 0 或未定义时仍保持定义的方式进行形式化？
• RQ3 一致性、合理序关系与条件期望存在性之间的逻辑关系为何？
• RQ4 所有标准概率形式化（柯尔莫哥洛夫、考克斯、杜普雷-蒂普勒）是否均一致且可嵌入统一框架？
• RQ5 是否存在一种概率的规范形式化，能无损地涵盖所有一致实例？

主要发现

• 所有概率规则，包括贝叶斯法则，均可从随机量上的合理序关系导出，无需假设比值定义。
• 当 A ∧ C = 0 时，条件概率 P(A|C) 定义为 0；当 A ∧ C = C 时，定义为 1，无论 P(C) 是否为零或未定义。
• 当 P(C) = 0 时，比值定义 P(A|C) = P(A∧C)/P(C) 无法定义 P(A|C)，导致其合理不完备。
• 每个一致函数均可扩展为合理完备函数，意味着概率可无损地形式化为此类函数。
• 一致性等价于可扩展为由正规合理序关系诱导的条件期望，从而建立统一基础。
• 所有标准形式化——柯尔莫哥洛夫型、考克斯型和杜普雷-蒂普勒型——均一致，且其规则均可从所提出的基于序关系的框架中导出。