[论文解读] Fourier analysis of sampling from noisy chaotic quantum circuits

Sergio Boixo, Vadim Smelyanskiy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2017

Neural Networks and Applications被引用 12

一句话总结

本文分析了噪声混沌量子线路输出分布的傅里叶结构，表明服从 Porter-Thomas 分布的概率的傅里叶分量服从均值为 0、标准差为 $ N^{-3/2} $ 的高斯分布，证实多项式时间近似算法无法优于随机猜测。该研究强化了噪声混沌线路趋向均匀性的结论，表明经典模拟仅可通过随机采样实现，且验证了交叉熵基准测试作为近期量子优越性实验的关键指标。

ABSTRACT

Sampling from the output distribution of chaotic quantum evolutions, and of pseudo-random universal quantum circuits in particular, has been proposed as a prominent milestone for near-term quantum supremacy. The same paper notes that chaotic distributions are very sensitive to noise, and under quite general noise models converge to the uniform distribution over bit-strings exponentially in the number of gates. On the one hand, for increasing number of gates, it suffices to choose bit-strings at random to approximate the noisy distribution with fixed statistical distance. On the other hand, cross-entropy benchmarking can be used to gauge the fidelity of an experiment, and the distance to the uniform distribution. We estimate that state-of-the-art classical supercomputers would fail to simulate high-fidelity chaotic quantum circuits with approximately fifty qubits and depth forty. A recent interesting paper proposed a different approximation algorithm to a noisy distribution, extending previous results on the Fourier analysis of commuting quantum circuits. Using the statistical properties of the Porter-Thomas distribution, we show that this new approximation algorithm does not improve random guessing, in polynomial time. Therefore, it confirms previous results and does not represent an additional challenge to the suggested failure stated above.

研究动机与目标

• 分析噪声混沌量子线路输出分布中傅里叶分量的统计特性。
• 评估多项式时间近似算法是否能在采样噪声混沌分布时优于随机猜测。
• 验证交叉熵基准测试作为近期量子实验中保真度可靠度量的有效性。
• 确认噪声混沌线路收敛至均匀分布，从而在渐近极限下经典模拟仅需随机采样即可实现。

提出的方法

• 在概率服从 Porter-Thomas 分布的假设下，推导傅里叶系数 $ \hat{p}_{\rm PT}(s) $ 的分布。
• 利用随机矩阵理论和 Haar 测度，对希尔伯特空间中均匀随机的量子态进行建模。
• 应用狄拉克函数约束和复高斯积分，计算比特串上部分和的分布。
• 通过解析延拓进行围线积分，以评估归一化和分子积分。
• 将部分和 $ u = \sum_{x \in S} p(x) $ 的分布转换为傅里叶分量 $ \hat{p}_{\rm PT}(s) $ 的分布。
• 渐近近似得到结果分布为方差 $ N^{-3} $ 的高斯分布，从而得出标准差为 $ N^{-3/2} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 混沌量子线路在 Porter-Thomas 统计下，其输出概率的傅里叶分量具有何种统计分布？
• RQ2 多项式时间经典算法是否能比随机采样更有效地近似噪声混沌量子线路的输出分布？
• RQ3 噪声混沌线路向均匀分布的收敛性如何影响经典模拟的前景？
• RQ4 交叉熵基准测试在估计噪声量子实验中保真度和与均匀性的距离方面起什么作用？
• RQ5 混沌量子线路的傅里叶结构是否能支持更高效的经典采样算法？

主要发现

• 服从 Porter-Thomas 分布的概率的傅里叶分量服从均值为 0、标准差为 $ N^{-3/2} $ 的高斯分布，其中 $ N = 2^n $ 为比特串的数量。
• 傅里叶系数的分布渐近为高斯分布，其概率密度函数近似为 $ \frac{N^{3/2}}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} \hat{p}_{\rm PT}^2 N^3\right) $。
• 用于近似噪声混沌线路输出分布的多项式时间经典算法无法优于随机猜测，因为它们无法更有效地利用傅里叶结构。
• 噪声混沌线路的输出分布随门数呈指数快速收敛至均匀分布，因此在渐近极限下，经典模拟仅需随机采样即可实现。
• 交叉熵基准测试在近期量子实验中仍是估计保真度和与均匀性距离的有效且稳健的度量。
• 该分析证实，经典超级计算机将无法模拟具有约 50 量子比特和深度约 40 的高保真混沌量子线路，从而支持了量子优越性的主张。