[论文解读] Fourier series in orthogonal polynomials on a cone of revolution

Yuan Xu|arXiv (Cornell University)|May 18, 2019

Mathematical functions and polynomials被引用 7

一句话总结

本文研究了在 ℝ^{d+1} 中旋转锥面上具有特定权函数的正交多项式及傅里叶正交级数。证明了这些多项式是二阶微分算子的本征函数，推导出其再生核的闭式表达式并揭示其一维特性，并基于此构建卷积结构，从而实现对傅里叶正交级数的分析，该方法亦可推广至锥面正交结构。

ABSTRACT

Orthogonal polynomials and the Fourier orthogonal series on a cone of revolution in $\mathbb{R}^{d+1}$ are studied. It is shown that orthogonal polynomials with respect to the weight function $(1-t)^\gamma (t^2-\|x\|^2)^{\mu-\frac12}$ on the cone $\mathbb{V}^{d+1} = \{(x,t): \|x\| \le t \le 1\}$ are eigenfunctions of a second order differential operator, with eigenvalues depending only on the degree of the polynomials, and the reproducing kernels of these polynomials satisfy a closed formula that has a one-dimensional chacteristic. The latter leads to a convolution structure on the cone, which is then utilized to study the Fourier orthogonal series. This narrative also holds, in part, for more general classes of weight functions. Furthermore, analogous results are also established for orthogonal structure on the surface of the cone.

研究动机与目标

• 研究在 ℝ^{d+1} 中旋转锥面上具有特定权函数的正交多项式与傅里叶级数。
• 确定关于权函数 (1−t)^γ(t²−‖x‖²)^{μ−½} 的正交多项式是否为二阶微分算子的本征函数。
• 推导这些正交多项式的再生核的闭式表达式，并分析其一维特性。
• 基于核的性质，在锥面上建立卷积结构，以研究傅里叶正交级数。
• 将结果推广至锥面的正交结构。

提出的方法

• 分析锥面 𝕍^{d+1} = {(x,t): ‖x‖ ≤ t ≤ 1} 上关于权函数 (1−t)^γ(t²−‖x‖²)^{μ−½} 的正交多项式。
• 识别出这些多项式是二阶微分算子的本征函数，其本征值仅依赖于多项式次数。
• 推导正交多项式再生核的闭式表达式，表明其具有显著的一维特性。
• 利用核结构在锥面上定义卷积运算，从而支持傅里叶正交级数的研究。
• 将相同框架应用于锥面的正交结构，将结果推广至该设定。
• 考虑向更广义权函数类的推广，表明部分结果的类比关系依然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在锥面 𝕍^{d+1} 上，关于权函数 (1−t)^γ(t²−‖x‖²)^{μ−½} 的正交多项式是否为二阶微分算子的本征函数？
• RQ2 能否为这些正交多项式的再生核推导出闭式表达式，且其是否表现出一维特性？
• RQ3 核结构是否能引出锥面上的卷积运算，从而促进傅里叶正交级数的分析？
• RQ4 这些结果在多大程度上可推广至定义在锥面表面的正交结构？
• RQ5 对于超出指定权函数类的更广义权函数类，是否仍存在类似结果？

主要发现

• 锥面上的正交多项式是二阶微分算子的本征函数，其本征值仅依赖于多项式次数。
• 这些正交多项式的再生核具有闭式表达式，且表现出一维特性。
• 核结构使得在锥面上可构造卷积运算，从而支持傅里叶正交级数的分析。
• 该框架同样适用于锥面的正交结构，可得到类似结果。
• 对更广义的权函数类，已建立部分结果的推广，表明其具有更广泛的应用潜力。