[论文解读] Fourier uniformity on subspaces

Ben Green, Tom Sanders|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 1被引用 5

一句话总结

该论文证明了对于任意子集 $ A \subset \mathbb{F}_2^n $，存在一个子空间 $ V \leq \mathbb{F}_2^n $，其余维数有界，使得 $ A $ 在 $ V $ 上是 $ \varepsilon $-均匀的，即 $ A \cap V $ 的所有非平凡傅里叶系数都很小。该结果通过算术正则性引理和对几乎着色的拉姆齐理论论证证明，且在 $ \mathbb{F}_3 $ 上不成立，如通过一个反例所示，该反例在任意非平凡子空间上均保持傅里叶均匀性的固定下界。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}$ be a fixed finite field, and let $A \subset \mathbb{F}^n$. It is a well-known fact that there is a subspace $V \leq \mathbb{F}^n$, $\mbox{codim} V \ll_δ 1$, and an $x$, such that $A$ is $δ$-uniform when restricted to $x + V$ (that is, all non-trivial Fourier coefficients of $A$ restricted to $x + V$ have magnitude at most $δ$). We show that if $\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$ then it is possible to take $x = 0$; that is, $A$ is $δ$-uniform on a subspace $V \leq \mathbb{F}^n$. We give an example to show that this is not necessarily possible when $\mathbb{F} = \mathbb{F}_3$. ADDED July 2016: shortly after this paper appeared on the arxiv, F. Manners showed us a rather short argument he had found in 2013, giving a better bound for our main theorem. We do not, therefore, intend to publish this note. The example over $\mathbb{F}_3$ may still be of interest to some readers and so we will not withdraw the paper from the arxiv.

研究动机与目标

• 确定是否可以将集合 $ A \subset \mathbb{F}_2^n $ 在子空间 $ V $ 上实现傅里叶 $ \varepsilon $-均匀性，而非仅在陪集 $ x+V $ 上，这在经典结果中是已知的。
• 研究在域为 $ \mathbb{F}_2 $ 时，经典陪集上的傅里叶均匀性结果是否可推广到子空间上的均匀性。
• 通过构造一个傅里叶系数具有普遍下界的反例，证明此类子空间上的均匀性在 $ \mathbb{F}_3 $ 上不成立。
• 建立 $ \mathbb{F}_2^n $ 上 $ (1-\eta) $-几乎着色的拉姆齐理论结果，以支持主要的均匀性结果。

提出的方法

• 应用算术正则性引理，找到一个子空间 $ W \leq \mathbb{F}_2^n $，使得对 $ \mathbb{F}_2^n $ 中正密度的 $ x $，$ A $ 在 $ x+W $ 上是 $ \varepsilon $-均匀的。
• 在商空间 $ X \cong \mathbb{F}_2^m $ 上定义一个着色 $ c: \tilde{X} \to \{0, \dots, r\} $，基于 $ A $ 在陪集 $ x+W $ 上的密度，其中 $ r \sim \varepsilon^{-1} $。
• 利用拉姆齐理论结果，找到线性无关的向量 $ x_1, \dots, x_d \in \mathbb{F}_2^m $，使得所有非空和 $ \sum_{i \in I} x_i $ 具有相同颜色，从而推出对应陪集上 $ A $ 的密度恒定。
• 构造最终的子空间 $ V = W + \langle x_1, \dots, x_d \rangle $，并利用平均和正交性，证明 $ 1_A \mu_V $ 的傅里叶变换在 $ V^\perp $ 上一致很小。
• 处理 $ r \notin V^\perp $ 的两种情况：当 $ r \notin W^\perp $ 时，使用陪集上的均匀性；当 $ r \in W^\perp \setminus V^\perp $ 时，利用对 $ I \subset [d] $ 求和中的抵消。
• 利用 $ r \notin V^\perp $ 意味着存在某个 $ i $ 使得 $ r \cdot x_i = 1 $ 的事实，因此 $ \prod_{i=1}^d (1 + (-1)^{r \cdot x_i}) = 0 $，从而强制傅里叶和中的抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个子集 $ A \subset \mathbb{F}_2^n $ 是否都能在某个余维数有界的子空间 $ V \leq \mathbb{F}_2^n $ 上实现傅里叶 $ \varepsilon $-均匀性？
• RQ2 当域为 $ \mathbb{F}_2 $ 时，经典陪集上的傅里叶均匀性结果是否可推广到子空间上的均匀性？
• RQ3 在域为 $ \mathbb{F}_3 $ 或任意奇特征域时，是否存在此类子空间均匀性的根本障碍？
• RQ4 能否利用 $ \mathbb{F}_2^n $ 上 $ (1-\eta) $-几乎着色的拉姆齐理论结果，来构造具有均匀傅里叶行为的子空间？
• RQ5 子空间 $ V $ 的余维数对 $ \varepsilon $ 的定量依赖关系是什么？能否将其改进至超越塔型界？

主要发现

• 对任意 $ A \subset \mathbb{F}_2^n $ 和 $ \varepsilon > 0 $，存在一个子空间 $ V \leq \mathbb{F}_2^n $，满足 $ \operatorname{codim} V \ll_\varepsilon 1 $，使得 $ A $ 在 $ V $ 上是 $ \varepsilon $-均匀的。
• 余维数的界为 $ \varepsilon^{-1} $ 的塔型，目前是已知最佳结果，尽管作者指出该界可能并非最优。
• 该结果在 $ \mathbb{F}_3 $ 上不成立：存在一个集合 $ A \subset \mathbb{F}_3^n $，使得对任意非平凡子空间 $ V $，其在 $ V $ 上的傅里叶均匀性下界为 $ \sqrt{3}/6 $。
• 在 $ \mathbb{F}_3 $ 上的反例通过构造一个由初始零块后接一个 1 组成的集合实现，确保在任意非平凡子空间上傅里叶系数的虚部保持固定。
• 证明依赖于 $ \mathbb{F}_2^n $ 上 $ (1-\eta) $-几乎 $ r $-着色的拉姆齐型结果，该结果保证了基向量所有非空和的单色配置。
• 最终在 $ V $ 上的傅里叶均匀性通过结合陪集上的平均和求和 $ \sum_{I \subset [d]} (-1)^{r \cdot \sum_{i \in I} x_i} $ 中的抵消实现，当 $ r \notin V^\perp $ 时该和为零。