[论文解读] FPT Approximations for Packing and Covering Problems Parameterized by Elimination Distance and Even Less

Tanmay Inamdar, Lawqueen Kanesh+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Assembly Line Balancing Optimization被引用 1

一句话总结

该论文证明，对于可在一阶逻辑中定义且具有有限整数指标（FII）的广泛类别的装箱与覆盖问题，基于模量大小到一个极小封闭图族 H 的 FPT 近似方案（FPT-AS），等价于基于消除距离（edH）和 H-树宽（twH）的 FPT-AS。关键贡献是一个元定理，表明 FPT-AS 的存在性在这些逐步减小的结构参数之间得以保持，从而使得在 H-极小封闭图上对 Vertex Cover、Feedback Vertex Set 和 Dominating Set 等问题实现高效的 (1±ϵ)-近似成为可能。

ABSTRACT

For numerous graph problems in the realm of parameterized algorithms, using the size of a smallest deletion set (called a modulator) into well-understood graph families as parameterization has led to a long and successful line of research. Recently, however, there has been an extensive study of structural parameters that are potentially much smaller than the modulator size. In particular, recent papers [Jansen et al. STOC 2021; Agrawal et al. SODA 2022] have studied parameterization by the size of the modulator to a graph family $\mathcal{H}$ ($ extbf{mod}_{\mathcal{H}}$), elimination distance to $\mathcal{H}$ ($ extbf{ed}_{\mathcal{H}}$), and $\mathcal{H}$-treewidth ($ extbf{tw}_{\mathcal{H}}$). While these new parameters have been successfully exploited to design fast exact algorithms their utility (especially that of latter two) in the context of approximation algorithms is mostly unexplored. The conceptual contribution of this paper is to present novel algorithmic meta-theorems that expand the impact of these structural parameters to the area of FPT Approximation, mirroring their utility in the design of exact FPT algorithms. Precisely, we show that if a covering or packing problem is definable in Monadic Second Order Logic and has a property called Finite Integer Index, then the existence of an FPT Approximation Scheme (FPT-AS, i.e., ($1\pm ε$)-approximation) parameterized these three parameters is in fact equivalent. As concrete exemplifications of our meta-theorems, we obtain FPT-ASes for well-studied graph problems such as Vertex Cover, Feedback Vertex Set, Cycle Packing and Dominating Set, parameterized by these three parameters.

研究动机与目标

• 将消除距离（edH）和 H-树宽（twH）等结构参数的应用从精确的 FPT 算法扩展到近似算法。
• 为一大类图问题建立基于 modH、edH 和 twH 的 FPT-AS 之间的等价性。
• 证明即使在 modH 参数化下为 W[1]-难的问题，当以更小的 twH 参数化时，仍可能具有 FPT-AS。
• 提供一个基于 CMSO 可定义性与有限整数指标（FII）性质的元理论框架，用于设计 FPT-AS。
• 展示在尖点极小封闭图与 H-极小封闭图上，Vertex Cover、Feedback Vertex Set 和 Connected Dominating Set 等基础问题的具体系近似方案。

提出的方法

• 利用一阶逻辑（MSOL）可定义性与有限整数指标（FII）性质，刻画可解的装箱与覆盖问题。
• 采用一种归约框架，将图实例 G 转换为修改后的图 G′ = G − M，其中 M 是到极小封闭图族 H 的模量。
• 在有界树宽核心 G′ 上应用 EPTAS（高效参数化近似方案），获得 (1±ϵ) 近似解。
• 通过将 G′ 上的解与模量 M 结合，并辅以细致的记录管理，构建原始图上的连通解，同时保持近似保证。
• 通过结构参数间的关系，证明 modH、edH 和 twH 之间 FPT-AS 存在性的等价性，即一个参数的 FPT-AS 存在可推出其余参数的 FPT-AS 存在。
• 以 Fomin 等人关于有界树宽图上问题的已知 EPTAS 结果为基础，构建 FPT-AS。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否不仅能基于 modH 参数化实现装箱与覆盖问题的 FPT-AS，也能基于更小的 edH 和 twH 参数化实现？
• RQ2 对于具有 FII 的 MSOL 可定义问题，基于 modH、edH 和 twH 的 FPT-AS 是否存在元理论等价性？
• RQ3 在 modH 参数化下为 W[1]-难的问题，是否仍能在 twH 参数化下获得 FPT-AS？
• RQ4 FPT-AS 框架在多大程度上可推广至 CMSO 可定义问题之外？
• RQ5 能否为 Connected Vertex Cover 和 Connected Dominating Set 等问题，构建在不同参数下统一的 FPT-AS？

主要发现

• 当以 modH(G) 参数化时，Connected Vertex Cover 存在 FPT-AS，其时间复杂度为 2^O(modH(G)+1/ϵ) · n^O(1)，适用于尖点极小封闭图族 H。
• 当以 modH(G) 参数化时，Connected Dominating Set 也存在 FPT-AS，具有相同的渐近时间上界，通过 Set Intersecting Dominating Set 归约实现。
• 对于具有 CMSO 可定义性与 FII 的问题，基于 modH(G) 的 FPT-AS 存在性，等价于基于 edH(G) 和 twH(G) 的 FPT-AS 存在性。
• 对于 Vertex Cover、Feedback Vertex Set 和 Cycle Packing 等问题，基于 twH 参数化可获得 FPT-AS，而 twH 可能远小于 modH。
• 该框架可将有界树宽图上的 EPTAS 结果，通过基于模量的分解，推广至一般图上的 FPT-AS。
• 结果表明，对于尖点极小封闭图族，可基于 modH、edH 或 twH 作为参数，为 Vertex Cover 和 Dominating Set 等问题构造统一的 FPT-AS。