[论文解读] Fréchet barycenters in the Monge-Kantorovich spaces

Alexey Kroshnin|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文在Monge-Kantorovich空间中引入了Fréchet barycenter，作为Wasserstein barycenter在任意Radon空间及连续、非负代价函数下的推广。在概率测度弱收敛的条件下，建立了barycenter的存在性与收敛性性质，证明了经验barycenter的大数定律，并表明barycenter在分布收敛下是稳定的。

ABSTRACT

We consider the space $\mathcal{P}(X)$ of probability measures on arbitrary Radon space $X$ endowed with a transportation cost $J(μ, ν)$ generated by a nonnegative continuous cost function. For a probability distribution on $\mathcal{P}(X)$ we formulate a notion of average with respect to this transportation cost, called here the Fréchet barycenter, prove a version of the law of large numbers for Fréchet barycenters, and discuss the structure of $\mathcal{P}(X)$ related to the transportation cost $J$.

研究动机与目标

• 为概率测度空间上的概率分布定义平均值（Fréchet barycenter），使用运输代价函数。
• 将Fréchet均值的概念推广至非度量运输代价，这些代价可生成拓扑结构但不一定满足三角不等式。
• 在分布收敛下建立barycenter的收敛性质，特别是证明经验barycenter的大数定律。
• 分析赋予Monge-Kantorovich运输代价的测度空间的结构及其对barycenter存在性与唯一性的影响。
• 将欧氏空间中凸代价函数下的结果扩展至一般Radon空间，在代价函数具有温和正则性条件下保持成立。

提出的方法

• 将$ P_{\nu} $在$ \mathcal{P}(X) $上的分布的Fréchet barycenter定义为期望运输代价$ \mathbb{E}[J(\bm{\mu}, \nu)] $的最小化器，其中$ J(\mu, \nu) $为Monge-Kantorovich代价。
• 采用Monge-Kantorovich公式：$ J(\mu, \nu) = \inf_{\gamma \in \Pi(\mu, \nu)} \int c(x,y) \, d\gamma $，其中$ c(x,y) \geq 0 $连续，且$ c(x,y) = 0 $当且仅当$ x = y $。
• 引入正则化项$ G(\nu) $以确保barycenter的存在性与稳定性，特别是在非紧或非度量空间中。
• 通过广义下确界连续性论证与$ J $-拓扑中的紧致性，利用弱收敛与代价函数的一致连续性，证明barycenter的收敛性。
• 建立barycenter映射的上半连续性，并证明经验barycenter的极限即为底层分布的barycenter。
• 通过证明经验测度$ \bm{P}_n $在$ \mathcal{J} $-拓扑中收敛于真实分布$ P_{\mu} $，应用大数定律，从而推导出barycenter的几乎 surely 收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$ X $为Radon空间且$ J $为一般运输代价时，$ \mathcal{P}(X) $上概率分布的Fréchet barycenter在何种条件下存在？
• RQ2 在$ \mathcal{P}(X) $上的概率测度以$ J $-拓扑收敛时，其对应的Fréchet barycenter的收敛性如何受到影响？
• RQ3 当底层测度为i.i.d.时，能否为经验Fréchet barycenter建立大数定律？
• RQ4 正则化$ G(\nu) $在非紧或非度量设定下确保barycenter存在性与稳定性的作用是什么？
• RQ5 在代价函数假设较弱的条件下，这些结果在多大程度上可从欧氏空间推广至一般Radon空间？

主要发现

• 只要$ \mathbb{E}[J(\bm{\mu}, \cdot)] $不恒为无穷大，任意$ P_{\mu} $在$ \mathcal{P}(X) $上的Fréchet barycenter均存在。
• 若一列分布$ P_n $在$ \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) $上的$ \mathcal{J} $-拓扑中收敛于$ P $，则$ P_n $的barycenter在$ J $-拓扑中收敛于$ P $的barycenter。
• 经验Fréchet barycenter的大数定律成立：在i.i.d.抽样下，经验barycenter序列几乎必然预紧，且每个极限点均为真实分布的barycenter。
• 集值映射$ P \mapsto \operatorname{Bar}_G(P) $是上半连续的；若$ G $严格凸，则barycenter映射变为连续。
• 对于经验测度$ \bm{P}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{\bm{\mu}_i} $，有$ \bm{P}_n \xrightarrow{\mathcal{J}} P_{\mu} $几乎必然成立，从而推出barycenter的收敛性。
• 当代价函数满足次三角不等式条件时，即对所有$ x,y,z \in X $有$ c(x,y) \leq A_\epsilon + (1+\epsilon)c(x,z) + C_\epsilon c(y,z) $，结果可推广至代价函数的等价类。