[论文解读] Fractional eigenvalues in Orlicz spaces with no $\Delta_2$ condition

Ariel Salort, Hernán Vivas|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文在不假设 Young 函数 $G$ 及其共轭函数满足 $\Delta_2$ 条件的前提下，建立了 Orlicz-Sobolev 空间中涉及 $g$-Laplacian 的分数阶特征值问题的非平凡解的存在性。通过求解约束最小化问题并应用广义拉格朗日乘子定理，作者证明了特征值的存在性、谱的闭包性，并推导出在细长区域中的统一下界以及基于对称性的单调性等性质。

ABSTRACT

We study the eigenvalue problem for the $g-$Laplacian operator in fractional order Orlicz-Sobolev spaces, where $g=G'$ and neither $G$ nor its conjugated function satisfy the $\\Delta_2$ condition. Our main result is the existence of a nontrivial solution to such a problem; this is achieved by first showing that the corresponding minimization problem has a solution and then applying a generalized Lagrange multiplier theorem to get the existence of an eigenvalue. Further, we prove closedness of the spectrum and some properties of the eigenvalues and, as an application, we show existence for a class of nonlinear eigenvalue problems.

研究动机与目标

• 在 Orlicz-Sobolev 空间中建立分数阶 $g$-Laplacian 特征值问题非平凡解的存在性。
• 解决在缺乏 $\Delta_2$ 条件下导致的非自反性与不可微性问题，该问题使标准变分方法变得复杂。
• 将非线性特征值问题理论扩展至非齐次、非加倍的 Orlicz 设置，特别是针对分数阶算子。
• 证明谱的性质，如谱的闭包性以及在细长区域中特征值的统一下界。
• 通过扰动与隐函数技术，证明一类非线性特征值问题解的存在性。

提出的方法

• 将特征值问题表述为能量泛函 $\mathcal{F}(u) = \iint G(|D_s u|) \, d\mu$ 在约束 $\mathcal{J}(u) = \alpha$ 下的约束最小化问题。
• 利用弱下半连续性及在 $L^G$ 收敛下的稳定性，证明在 $W^s_0 L^G(\Omega)$ 中该约束问题存在最小值解。
• 应用广义拉格朗日乘子定理，推导出存在一个特征值 $\lambda$，使得最小值解满足特征值方程的弱形式。
• 利用隐函数定理处理约束中的非线性扰动，确保扰动路径满足 $\delta(0) = 0$ 且 $\delta'(0) > 0$。
• 借助 Pólya-Szeg€ö 型对称化原理，在 $H(t) = t g(t)$ 的凸性假设下，比较对称域与一般域中的特征值。
• 通过估计能量泛函的比值并运用尺度变换方法，建立在细长区域中特征值的统一下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 及其共轭函数均不满足 $\Delta_2$ 条件时，分数阶 $g$-Laplacian 的特征值问题是否可在 Orlicz-Sobolev 空间中求解？
• RQ2 在缺乏自反性的情况下，能量泛函 $\mathcal{F}(u)$ 在约束 $\mathcal{J}(u) = \alpha$ 下的约束最小化问题是否仍存在最小值解？
• RQ3 在非 $\Delta_2$ 条件下，可建立哪些谱性质，如谱的闭包性或下界性？
• RQ4 对称化与重排技术在非齐次 Orlicz 设置下如何影响特征值的比较？
• RQ5 广义拉格朗日乘子法是否可在不假设 $\Delta_2$ 条件或 Fréchet 可微性的情况下应用于非线性特征值问题？

主要发现

• 对任意 $\alpha > 0$，约束最小化问题 $\min \{ \mathcal{F}(u) : u \in W^s_0 L^G(\Omega), \mathcal{J}(u) = \alpha \}$ 存在最小值解。
• 通过广义拉格朗日乘子定理，特征值问题 (1.1) 存在非平凡弱解 $u_\alpha$，对应特征值 $\lambda_\alpha$。
• 谱 $\Sigma = \{ \lambda_\alpha \}$ 是闭集，即使在不假设 $\Delta_2$ 条件下亦成立。
• 对于直径满足 $\mathbf{d} \leq ((1+\varepsilon)C)^{-1/s}$ 的细长区域，特征值满足 $\lambda_\alpha \geq \varepsilon$，提供与 $\alpha$ 无关的统一下界。
• 在 $H(t) = t g(t)$ 的凸性假设下，球 $B$ 中的第一特征值满足 $\lambda_\alpha(B) \leq \lambda_\alpha(\Omega)$，对任意区域 $\Omega$ 成立，表明球体最小化第一特征值。
• 在适当假设下，形如 $(-\Delta_g)^s u = \lambda g(|u|) \frac{u}{|u|} + f(u)$ 的非线性特征值问题存在解，通过隐函数定理与约束稳定性得以证明。