[论文解读] Fractional Supersymmetry and Lie Algebras

Michel Rausch de Traubenberg|ArXiv.org|Jul 19, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通过齐次单项式对李代数进行微分实现的方法，以显式实现分数次超对称性（FSUSY）和F-李代数。通过利用基本生成元的对称张量积构造无穷维表示，证明了有限维表示可以嵌入到可约但不可约的表示中，从而实现了对任意李代数（包括su(3)）的F-李代数的一致构造。

ABSTRACT

Supersymmetry and super-Lie algebras have been consistently generalized previously. The so-called fractional supersymmetry and $F-$Lie algebras could be constructed starting from any representation $\D$ of any Lie algebra $g$. This involves taking the $F^{\mathrm th}$ root of $\D$ in some sense. We show, after having constructed differential realization(s) of any Lie algebra, how fractional supersymmetry can be explicitly realized in terms of appropriate homogeneous monomials.

研究动机与目标

• 通过F-李代数将超对称性推广至标准李代数和超李代数框架之外。
• 解决当基本表示为有限维而F次根表示为无限维时，实现分数次超对称性的挑战。
• 提供一种系统方法，通过齐次单项式对李代数的微分实现来构造F-李代数。
• 证明该构造在特定李代数（如su(3)）中的可行性，并推广至任意李代数。
• 通过将有限维表示扩展为无限维、可约但不可约的表示，解决表示结构中的不可约性问题。

提出的方法

• 将F-李代数定义为李代数和超李代数的推广，其中分次算符ε满足ε^F = 1，并在代数上诱导出Z_F-分次结构。
• 使用对称张量积S^F(A_k)将李代数B的元素表示为A_k中‘基本’生成元的F阶对称积。
• 通过将生成元表示为作用在变量x1, x2, x3上的齐次单项式上的微分算符，构造李代数的微分实现。
• 定义映射μ_F，将F个基本表示D_{μ(1)/F}的对称积投影到约化对称积空间S^F_red(D_{μ(1)/F})上，该空间包含原始有限维表示D_{μ(1)}。
• 利用维尔马模作为无穷维表示D_{μ/F}，以实现有限维表示D_μ的F次根。
• 通过强制F括号的B-等变性以及李代数B作用下的莱布尼茨型关系，确保等变性和雅可比恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用微分算符对任意李代数一致实现分数次超对称性？
• RQ2 当有限维表示的F次根表示为无限维时，如何构造F-李代数结构？
• RQ3 微分实现在此类嵌入中扮演什么角色：即将有限维表示嵌入到无限维、可约但不可约的表示中？
• RQ4 为何将有限维表示标准嵌入到基本生成元的对称积中，不足以实现F-李代数的构造？
• RQ5 何种代数结构使得扩展表示空间能够一致闭合F-李代数？

主要发现

• 通过将D_μ扩展为无穷维、可约但不可约的表示S^F_red(D_{μ/F})，可对任意李代数g和任意有限维表示D_μ实现F-李代数的构造。
• 对于su(3)，表示D_{μ(1)}被嵌入S^F_red(D_{μ(1)/F})，该空间严格更大，并且D_{μ(1)}作为真子空间存在，证实了扩展的必要性。
• 映射μ_F: S^F(D_{μ(1)/F}) → S^F_red(D_{μ(1)/F})是满射，使得D_{μ(1)}可在对称积空间中被识别。
• 表示S^F_red(D_{μ(1)/F})是可约但不可约的，因为不存在在su(3)作用下稳定的补子空间，例如E^α(x1(x2/x1)^2) = 2x2，但E^{-α}(x2) = 0。
• 仅用B = su(3) ⊕ D_{μ(1)}无法实现F-李代数结构；必须使用扩展代数如(su(3) ⊕ S^F_red(D_{μ(1)/F})) ⊕ D_{μ(1)/F}。
• 该方法可推广至任意李代数g，表明通过单项式实现的微分实现为构造F-李代数提供了一个通用框架。